Question

バケ

大問4の(v)です。
M(3)=L(6)+(I(4)-1)+(I(2)-1)になるのが理解できないので解説お願いします！

た数列を数列{an} とする. 数列 {an} は初項 ai から順に, 次のようになる。
4
1.4,7, 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77, 111,
( 合 )
(配点50)
数列 {an}に現れる m桁の整数の個数t(m) を mを用いて表せ, さらに,
数列{an}に現れる m 桁以下の整数の個数 T(m)をmを用いて表せ。
0A
(i),数列 {an} に現れる m桁の整数すべての和 S(m) を mを用いて表せ。
() 第100 項 a100 を求めよ.
(iv) mを2以上の整数とする. 最高位が7で, それ以外がすべて 1のm桁の整
代y の
数711…1をPm とする。
de 00
1)
(ア) 数列 {an}に現れる m 桁の整数の項を小さいものから順に数えるとき,
Pm がI(m)番目であるとする.I(m) を mを用いて表せ.
V
(イ) Pm が数列 {an} の第 L(m) 項に現れるとする。L(m) を mを用いて
CET
0る E
けない。(配
表せ。
(v)kを正の整数とする. 7と1がk回交互に並ぶ 2k 桁の整数7171…71 が
数列 {an}の第M(k) 項に現れるとする. M(k) をkを用いて表せ、
ち自大の代>さお ds り ()
浴向式のtonは
めよ。

個なので,m桁行の整数すべての和 S(m)はS:
数字(畔台)
S(m) =3"-12(1·10*-1+4·10*-1+7·10*-1)
k=1
m
=3"-
1.122101=4-3".
1·(10"-1)
k=1
10-1
IIIS
=4:3"-2(10"-1)
.(答)
a100 の桁数を mn とする。m>2である。
mはT(m-1)<100<T(m) を満たすので
o
(3"-1-1) <100<; (3"-1)
2
ア
3"<201<3+1 (M I2まお、いいのい
ここで,3=81, 3'=243 より, m=4である。
3
+ 1リ+ () 3(
3桁以下の整数は T(3) =
(3°-1) = 39個 あるので, a1mは4桁の整数の
うち小さい方から 100-39=61番目である。
4桁の整数で最高位の数が1のものは3°=27個,4のものは27個あり,
4100 は最高位の数が7のもののうち61-2×27=7番目 である。
4桁の整数で最高位の数が7であるものを小さい方から書き並べると
1-
7111, 7114, 7117, 7141, 7144, 7147, 7171
..(谷
より
a100 =7171
(iv)(ア) m 桁の整数で最高位の数が1のものは3"-1個,4のものは
3"-1個 あり,Pmはこれらの次の項なので Tum) m行日まで9
I(m) =2-3"-1 +1
(イ) m22のとき, m-1桁以下の整数は T(m-1) 個あり,最後の項か
らさらにI(m)番目が Pmになるので
の
. (答)
3
(3m-1-1) +2-3"-!+1
2
ニ
L(m) = T(m-1) +1(m);
1(m)は わ材用でいっか有感の
妊表していて、1m)は是わのからし全に
何日かを是してい
7:3m-1_1
く民の
2
m=1のとき,L (1) =3 となり,成り立つので
7:3m-1]日 の
20分 合
ケと(m)=
Pas=711111…11 : {a} の第L(2k) 項
2k桁

()(i)の結果を用いて amの桁数を決定でき,その桁の整数の何番目であ
54 2021 年度
2(k-1)桁
711111:6桁の項の第1(6) 番目
7111:4桁の項の第1(4)番目
71:2桁の項の第1(2) 番目
P6=
P=
を用いる。例えば、6桁の717171は {am} の第M(3) 項で
M(3) = L (6) + {I (4) - 1} + {I(2) -1}
となる。同様に考えて
k22のとき,2k桁の7171…71は lan} の第M(k) 項で
P2=
6 HL)=7
4)1111
2々桁
M(k) = L (2k) +{7(2(k-1))-1}+…+ {I(4) -1} +{7(2) -1}
()T イを
向で
こうなるか
な、
をー!
=L(2k) + 2{I(2i) - 1}
i=1
k-1
7:324-1 _1
+2(2-3-1+1-1) 乗り
2
i=1
お目
1.324-1-
1,259
+三
乗
2°
23台
7
1,29(9-1_1) THT T IIN
-¥6.
2'3
9-1
1
1_3 のm コス
/7
k
三
16
12
2 4
5(9*-1)
1(答) こ
三
4
00
これはk=1のときも成り立つので
日(m1さ
5(9*-1)
M(k) =
(答)
三
4解 説》
C-T
く3つの数字で表される整数の数列》
(i) 各位の数が3つの数字のみであることを用いて単純に計算する。
(i)数列の順序は気にせず, 各位の数に着目して和を考える。
()(i)の結果を用いて aimの桁数を決定でき、その桁の整数の何番日
るかもわかる。
II
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