Question

餃子

黄色部分が何故そうなるのかわからないです。

の整式 P(z)は, エ+2で割ると 1余り. (x- 1)(x - 4) で割ると -3x+85余るという. P(z) を
(z+ 2)(z - 1)(4 1 4) で割ったときの商をQ(x). 余りを R(z) とする. このとき.次の各問に答えよ。
(1) R(z) を求めよ。
(2) エが1Szハ3を満たしながら動くとき, R(x) の最大値および最小値を求めよ。
(3) Q(z) = x -2のとき, P(2- V3i) の値を求めよ. ただし、,iは虚数単位とする。

(因数定理,複素数の計算)
(1) P(z)を3次式 (z+2)(x-1)(x- 4)で
I
解答
割ったときの余り R(z) は2次以下の整式で
P(z) = (z+ 2)(日 - 1) (H1 4)Q(x) + R(x)
が成り立つ。
のから、整式 P(z) を(z-1)(w1 4) で割った余りは、
2次以下の整式 R(z) を(エ-1)(n - 4) で割った余り
に等しいので、 R(z)は実数kを用いて、
R(z) = k(z- 1)(H 1 4) - 3x +85
2②
と表すことができる。
P(z) は x +2で割ると1余るので, 利余の定理より
P(-2) = 1 が成り立ち. ① から P(-2) =D R(-2) で
あることから R(12) =D 1 となる。
よって, ② から
k(-2-1)(-2-4) - 3·(-2) + 85 = 1
である。
これからkの値を求めると, 18k+91=1より k=-5
である。
よって, ② に代入すれば
R(z) = -5(z-1) (日 1 4) 1 3x + 85
= 1522 + 22c+ 65
N

数ii 因数定理

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ログアウト済み

P(x) を (x－1)(x－4) で割った余り ･･･★ は、

① (x＋2)(x－1)(x－4) を (x－1)(x－4) で割った余りと、
② R(x) を (x－1)(x－4) で割った余り
の和と等しいです。

① は 0 なので、★ は ② と等しくなります。

餃子

ありがとうございます。

ただ、0になること等は確認しましたが、どうして (x＋2)(x－1)(x－4) を (x－1)(x－4)で割るか、余りの和で求められるのかなど、仕組みの面で理解できていません…

ログアウト済み

以下の⑴を使っています。

例えば、31＋92 を 3 で割った余りを考えた際、
31 を 3 で割った余りは 1、
92 を 3 で割った余りは 2 なので、
31＋92 を 3 で割った余りは、
1＋2(＝3) を 3 で割った余りと等しいです。

ログアウト済み

これは数学A「整数の性質」で学習したはずです。

9^150 を 7 で割った余りを求めよ。
という問題を解いたことがあると思いますが、これは上の⑷を使えば解けます。

餃子

画像などとても分かりやすくありがとうございます。
この画像⑴に沿うと、
P（x）＝（x+2）（x-1）（x-4）+R（x）
ということでしょうか…？

ログアウト済み

P(x) ＝ (x＋2)(x－1)(x－4)Q(x) ＋R(x)
です。最初の説明には Q(x) が抜けていました。

餃子

分かりました。丁寧にありがとうございます！