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赤ペンで書いてある式の真ん中、log a x ではなく x ではないですか？
赤ペンの式のすぐ上の式 1 < log a x < 2 から、
a^2 < x < a
という式なら成り立つので、もしかしたらそうかなと思ったのですが、思い違いだったらすみません🙇♂️！
いえいえ！
存在しますが、いつでも存在するわけではありません。例えば、a = 2 のときは a^2 < x < a は
4 < x < 2 ･･･ ①
となり、これを満たす実数xは存在しません。
一方、a = 1/2 のときは a^2 < x < a は
1/4 < x < 1/2 ･･･ ②
となり、これを満たす実数xは存在します。（例えば x = 1/3 ）
どういうときに a^2 < x < a をみたす実数xが存在するかというと、
a^2 < a ･･･ ③
のときです。
（というのも、a^2 < x < a の左辺a^2が右辺aより大きくなってしまうと、上の式①のようになり、満たす実数xは存在しないです。なので、左辺a^2は右辺aより小さくないといけません。もし左辺a^2が右辺aより小さければ、式②のようになり、満たす実数xが存在します。）
もう少し補足として、式③をaについて解いてみると、
0 < a < 1 ･･･ ④
となります。
つまり、0 < a < 1 のときには、a^2 < x < a を満たす実数xが存在します。（0 < a < 1 はまさに今考えている場合ですね。）
分からない部分ありましたら、遠慮なくおっしゃってください！
とっても丁寧にありがとうございます！分かりやすかったです☺️🌼
いえいえ！よかったです！🙇♂️
ご指摘ありがとうございますxでした🤦🏻♀️
実際 a²<x<a となる数は存在するのですか？