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(1)偶数、奇数を利用したやり方ですね。偶数、奇数というのは整数の性質なので、kは実数とすると偶数、奇数にならない場合があります。
例)k=0.5のとき2k+1=2×0.5+1=2
ですから先にdが整数であることを言う必要があります。
p,q,rがこの順に公差dの等差数列をなすから、
公差d=q-pとなる。
p,qは素数であるから整数であり、したがってq-pも整数となるため、dは整数である。
よって、dが2の倍数でないと仮定すると、
d=2k+1(kは整数)
とおける。
あとの流れは大丈夫だと思います。
(2)同様に、d=q-pよりdが整数であることを言っておきます。
dが3の倍数でないと仮定すると、
[I]d=3k+1(kは整数)
(p,q,r)=(p,p+3k+1,p+6k+2))
ここまではいいですが、3k+1は偶数か奇数かわかりません。わかるのは3で割ったときの余りが1であることだけです。ですから、利用できるのは偶数奇数ではなく、3で割ったときの余りです。
そして、3以外の3の倍数は素数ではないことを用いて矛盾を示します。
3＜pよりp=3n+1または3n+2(nは自然数)
(A)p=3n+1のとき
r=3n+1+6k+2=3(n+2k+1)となり3の倍数となる。また3＜rであるから、3より大きい3の倍数は素数ではないためrは素数でない。これはrが素数であることに矛盾する。
(B)p=3n+2のとき
q=3n+2+3k+1=3(n+k+1)となり3の倍数となる。かつ3＜qであるためqは素数ではない。これは矛盾する。
いつもありがとうございます(^^)どの問題も丁寧に教えてくださり助かっています。
何でも実数と書く癖があるので、これからは整数なのか実数なのかよく考えるようにします。
（2）も理解できました！