Question

もにまる

微分の不等式の単元です。
写真の66番は差が0より大きいことを求め、67(1)は増減を求めていますが、この使い分けというのはどうすれば良いのでしょうか？
67(1)ではlogが使われていて、真数条件からf'(x)が増加関数であることを求めた後にf(0)が出せないからグラフの増減を求めるしかないということなのでしょうか？
解説をお願いできると嬉しいです。よろしくお願いします。

66
00 0<x<号のとき,次の不等式が成り立つことを示せ。
2
3
tan°x
x>tanx-
3
(信州大)
67
(1) >0 のとき,不等式 1ogtst-1 が成り立つことを証明せよ。
(2) t>0 のとき,不等式logt21-
ー- が成り立つことを証明せよ.
t
1
(3) x>0, y>0 のとき,不等式 xlogx2xlogy+x-y が成り立つこと
を証明せよ。
(大阪教育大)

5方程式の
グラフより,
(解答)
く
0<a<e.
f(t)=t-1-logt(t>0)
おける接。
とおくと,
[注] ここでは,
x
et
lim-
=0
f'(t)=1-
x→0
et
であることを用いた、この事実は覚えておく
方がよい。
t-1
t
f(t)の増減は次のようになる。
66
考え方
t
1
tan" x
(x)=x-(tanx- )
f(t)
0
3
f(t)
0
とおいて,f(x)>0 を示す。
(tanx)'= =1+tan?x.
1
よって,
2
COs"x
f(t)20
(解答)
であるから,
logtst-1.
(2)(1) より, u>0 のとき,
log usu-1.
tan°x
f(x)=x-{tanx
3
つ値の範
ogx
=x-tanx+
3
3
tan°x
=ー とすると,
t
とおくと,
f(x)=1-
1
+tan^x*
log -1
1
Cos x
71
t
2
Cos*x
=1+(tan°x-1).-
Cos°x
1
log-=logt-=-logt より,
*=1+(tan*x-1). (tan*x+1)
-logts--1.
=tan*x>0.
よって,
よって, f(x) は増加関数である。
1
logt21-
…D
f(0)=0 であるから, 0<x<のとき,
x logx2xlogy+x-y
0f(x)>0.
よって,
→ x(logx-logy)>x-y
2)
3
tan°x
→ xlog2x-y
x>tanx
y
3
* logニ21-2, ③
y
x
考え方
67
(1) f(t)=Dt-1-logt の増減を調べる。
そこで,① に対し, t=" とおくと②が
y
t=- とすると
成り立つ、よって, 示された。
u
logtst-1 → log-<--1
68
考え方
ー logx
logx<a/x →
Vx
u
u
→ 1ogu21
1-1
u
x=t とおく。
f(x)=
logx
の最大値よりaが大きけれ

数学 不等式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

通りすがりの一般人。

差が0の場合もf(x)＝(左辺)−(右辺)が常に変域の中で正ということを使って証明していると思います。
根本的には同じだと思います

もにまる

ご回答ありがとうございます🙇‍♀️

同じことを証明するのは分かりました！
なんですけど、なんの違いで増加関数であることから求めるのとグラフの増減からそれを求めるのが変わってくることがわからなくて……🥲

私は67も66と同じように解こうとしてできませんでした。
そしたらグラフで増減を書けばいいってことなのでしょうか……？

通りすがりの一般人。

グラフがずっと単調増加なら最小値が0より大きいことを示せばいいですが、増減する関数では変域の中でf(x)が常に正であることを示さないと行けないので増減表を書いた方がいいと思います

通りすがりの一般人。

疑問があったら言ってください

もにまる

なるほど増減表書けばとりあえずわかりますもんね！

えっと、じゃあ基本が増減表で、66は4乗ですぐ分かるからこういう書き方されてるってことですか……？

通りすがりの一般人。

そうですね

もにまる

ﾜｱｱ分かりました！！
長々と質問しちゃってすみません、すごく助かりました……ありがとうございました！🙇‍♀️🙇‍♀️