Question

mnm

数Bの数学的帰納法で、青く囲ってある部分がなぜ3(k-1)＞0になるのか分かりません。
また、その後に緑の式に変わる行程も分かりません…
どなたか教えて頂けるとありがたいです🥲

●【数学的帰納法による不等式の証明]
nが4以上の自然数のとき、次の不等式を証明してみよう。
2">3n
入よう
証明 与えられた不等式を①とおく。
= (I) n=4のとき,
(左辺)=2*=16, (右辺)=3·4=12
であるから,①は成り立つ。
(I) k24 として、, n=k のとき,①が成り立つと仮定すると、
2*>3k
2
n=k+1 のとき, 2*+1>3(k+1) ……3
が成り立つことを示せばよい。
n=k+1 のとき, ②より,
(3の左辺)-(3の右辺)=2*+1 _3(k+1)
2,2-3k-3
|②を利用
$2-3k-3k-3|
| 3(k-1)>0
k24 より、
したがって、
k-1>0
よって,n=k+1 のときにも①は成り立つ。
(1), (I)より,①は4以上の自然数nについて成り立つ。

Answer 1

りりー

n＝k +1の時に不等式2^(k+1)>3(k+1) 【 ***この不等式を🌚とする***】が成り立つことを言えば良い。
なので🌚の左辺−右辺>0を示せばいいので、
2^(k+1)−3(k+1)＝2×2^k−3k−3 …❶
ここで、仮定「k≧4の自然数として2^k>3k」より、
❶>2×3k−3k−3＝3k−3＝3(k−1) …❷
ここでk≧4より、k−1>0 すなわち3(k−1)>0
よって❶>❷>0
なので❶>0 すなわち2^(k+1)−3(k+1)>0
が言えたということです！よってn＝k+1のときも与えられた不等式は、成り立つ。
よって数学的帰納法より、示された・・・(終)
帰納法で不等式証明の時に❶>❷>0のように、ワンクッション置いて❶>0と示すtechを使う問題はよく出ます。

Answer 2

yuki12

わからなければ質問してください！

mnm

ご丁寧にありがとうございます！解説頂いた所は理解出来ました！追加で申し訳ないのですが、解いている最中になぜn=k+1のとき③の左辺-③の右辺(オレンジの線の箇所)をするのか分からなくなってしまったので、教えて頂けると嬉しいです😰
あと、点線の部分(黄色マーカーの箇所)はどの部分で使われていますか？