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det(AB)=detAdetB(A,B∈GL(2,R))
これは線形代数学の基礎知識なんで証明しません。
fは行列とその行列式を対応させる写像です。
よって上の等式が
f(AB)=f(A)f(B) A,B∈GL(2,R)
そのものを示しています。
よってfは群の準同型写像
Mathematics
มหาวิทยาลัย
เคลียร์แล้ว
(1)がわかりません。準同型を示すためには任意の要素を２つ持ってくる必要がありますが、どのように取ってくればいいのでしょうか？
解法をお願いします。
問題2] 実数を成分とする2次正則行列全体からなる集合を GL(2, R) とすると, 行列の積に
関して群となることがわかる (これは示さなくてよい).さらに A =
a b
cd
E GL(2, R)
に対して写像f: GL(2, R) → R× をf(A) = ad- be で定義する. ここでR× はRから0を
取り除いてできる集合, つまり R× =R-{0}とし, R× を, 2項演算として実数における通
常の積を考えることにより群とみなす (これが群になることは示さなぐてよい).
また、
H= {AEGL(2, R) | f(A) = 1}
とおく、このとき,以下の問いに答えよ。
(なお「2次正方行列 Aが正則行列であるための必要十分条件は f(A) +0である」ことにつ
いては証明をすることなく必要に応じて自由に用いてよい。)
(1) fは群の準同型写像となることを示せ。
(2) fは全射となることを示せ。
(3) HはGL(2, R)の正規部分群となることを示せ。
(4) GL(2, R)/H2R× を示せ
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