Question

TK

(3)と(4)がいまいちわかりません。
導出を教えてください。

問題(1] 次の文を読み、設問に答えよ。
Cを複素数全体からなる集合とし, C* をCから0を取り除いてできる集合,つまり C× =
C-{0} とする. このとき, C* は複素数における通常の積を2項演算として群となる。a)
とがわかる。また、 C* の部分群Hをa=}+\iで生成される巡回部分群 (a) とすると, H
の位数は
こ
2
である。さらにHの任意の部分群は巡回群となることがわかる。.
(1) 下線部 (a)に関連して,C× の単位元を求めよ、その際,理由も述べること。
(2) 下線部(a)に関連して、a+ bi e CX (ただし a,be Rで(a,b) + (0,0)) の逆元をェ+yi
(r,y E R) と書くとき, aとyをa,bを用いて表せ
(3) 下線部 (b) に入る数字を求めよ、さらにHの要素をすべて求めよ。
(4) 下線部 (c) を証明せよ。

代数学 群論

Answer 1

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哲治

生成元がe^i(π/3)より位数6
巡回群の部分群の位数はこの場合6の約数より3,2,1個しかない。
それぞれ検討すれば巡回群であることはすぐわかる。

哲治

巡回群Gの部分群Hが部分群であることの一般論はこんな感じ。

TK

Hの要素っていうのはこの場合だと6乗まで計算していった各値になるのでしょうか？

哲治

写真に続く
1,e^(1/3),2/3,3/3,4/3,5/3(簡略化して記載 )
となる。

TK

ありがとうございました。