Question

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1枚目の問題なのですが、試行錯誤を繰り返しても |x－a| (0≦a≦1) の形がうまく作れず、2枚目の⑴にある連続の定義へうまく持っていけません…

どうすれば良いでしょうか？

問題 2.9.実数 x に対し,{«} でx に最も近い整数との距離を表す.この時, [0, 1] 上の
関数の列 fnを
{10kz}
fn(z) = >
10k
k=0
とおく、f(x) = lim, →o fn(a), r e [0,1] により定義される関数fは連続である事を示せ。

定義 31.2
Iを区間とし、fをI上の関数とする。
(1)f がI上の連続関数であるとは,Iのすべての点で連続であることである.すなわち,(定
義31.1を繰り返すと)任意のa€lと任意のe>0に対して6>0が存在して,r-al <óをみ
たすrEIに対して|f(z) - f(a)| <eが成り立つことである。
(2) 『がI上の一様連続関数であるとは、任意のe>0に対して>0が存在して,任意の
aElについて,r-a| <óをみたすrElに対して |f(z) - f (a)| <eが成り立つことである。

Answer 1

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連続関数列の一様収束極限は連続関数
を使えば良さそうです。

fnが連続関数であることは明らか。
fn→fが一様収束であることは、fの関数形が明示できないゆえに、一様収束のコーシーの判定条件が使いやすいです。
ワイエルシュトラスのM判定法を使ってもいいです。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/SequenceOfFunction/ThrmLimitOfSeqFunction1.htm
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AEM%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95

一様収束

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回答ありがとうございます。一様収束を使うのですね。
確認ですが、上の問題の解答は、以下の画像のようになるのでしょうか？

Crystal Clear

一行目から二行目とした根拠はなんでしょうか

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n→∞ のとき、fn(x) → f(x)
であることを使いました。

Crystal Clear

それだとまずいです。

n→∞ のとき、fn(x) → f(x)
はfnがfに各点収束するということです。
このときに上の議論が正しいとすると、各点収束から一様収束が導けることになります。
一般に一様収束⇒各点収束ですが、逆は成り立つとは限りません。
ゆえにそれでは証明になっていません。

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確かに fn(x)→f(x) は各点収束ですね。
ご指摘ありがとうございます。
では具体的にどのように証明すれば良いでしょうか？

Crystal Clear

上にも書いた通り、
一様収束のコーシーの判定条件
もしくは(実質同じですが)
ワイエルシュトラスのM判定法
で示せます。

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一様収束のコーシーの判定条件を使って、下の画像の状態まで解き進めてみました。ここからどうすれば良いでしょうか？それとも途中式自体が違うのでしょうか？

Crystal Clear

ここまではOKです。
0≦sup|Σ～|≦○
として挟み撃ちでlimsup=0を示します。

任意の実数aに対して
{a}≦1/2
であることを利用して不等式を立てます。

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ヒントの提供ありがとうございます。
一応、最後まで書き切りましたが、記述はこれでOKでしょうか？

Crystal Clear

OKです

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確認ありがとうございます。
そしてここまでお付き合いいただき、ありがとうございました。
おかげで問題を解くことができました。