Question

ログアウト済み

以下の問題における ( ⅱ ) の証明方法を教えていただきたいです。
ちなみに、( ⅰ ) は解けています。

問題 2.4. f(x)をRを定義域とする関数で,任意の有理数 z, y に対し f(x + y) =
f(x) + f(y) を満たすものとする.以下の事を示せ。
(i)任意の有理数 a に対し f(x) = f(1)x である。
(ii)fをさらに連続な関数とすると,全ての実数 z に対し f(z) = f(1)r となる。

Answer 1

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Tak

先ほどの解説の(5)の方法でできますよ。
これは慣れないないと難しいかもですが。

ログアウト済み

「有理数列で近似する｣ことを考えてみたのですが、うまく解法が見い出せませんでした。

Tak

慣れないと難しいと思うので、やり方お教えしますね。

x∈Rに対して、有理数列{r_n} が存在して、lim r_n = x となる。
(これは実数の性質を使ってま)

∀n∈Nに対して、(i)を用いると、
f(r_n) = f(1)r_n
が成り立つ。
今、n∈Nは任意であったので、n→∞とすると、fの連続性により、
f(x) = f(1)x
を得る。

Tak

こういう近似する方法は解析だとよく使われる手法になりますので、もし今後解析を勉強する機会があるならば、この機会に考え方に慣れておくのがいいと思いますよ。

ログアウト済み

有理数列について、詳しく調べてみたら意味が分かりました！
( ⅰ ), ( ⅱ ) とも回答ありがとうございました。