Question

Mathematica

2変数実係数多項式　R[x,y]
は具体的にどの様に書き表せますか?

上記のR[x,y]が線形空間となり得るか否か
という問題で
解答が、多項式としての普通の和、および実数倍に関して線形空間となる。

としか書かれていません。
和と実数倍に関して線形空間になることを
実際に説明しなくて良いのでしょうか。

説明しなくて良いとしても、
文章だけではイメージが掴みにくく納得できません。

以上の理由から上記のR[x,y]の具体的な記述方法があれば教えていただきたいです。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ととろ

Σ(aij × x^i × y^j)
i,j

Σはi,jについて和をとる
aij のij は添字

Mathematica

回答して頂きありがとうございます!

iとjの範囲は、
i,j=0,1,2・・・
で合っていますか?

ととろ

線形空間 R[x,y]の任意の要素を一般形で書くとそうなる、ということで、aij=0を含むので i,j は全ての正の整数となります

Mathematica

重ね重ね失礼します。

aij=0を含むからi,jが全ての正の整数になる
というのは
aij=0のとき aij× x^i × y^j が定数項になり
i=0かつj=0 時を考えなくていいから
i,j=1,2,・・・
となるということでしょうか。

ととろ

わからない時は具体的な多項式を書いてみて、その時のi,j,aij を考えてみるといいです。そうすると先ほどの式が R[x,y] の任意の要素を表していることがわかると思います。

例えば 2x²-√2x+xy+5なら
(i,j,aij) は (2,0,2), (1,0,-√2), (1,1,1), (0,0,5)
他のi,jについては (i,j,0) つまり aij=0

aij は係数だから aij=0 ということはそのi,jについて aij× x^i × y^j =0 ということ。
i=j=0 の a00 が定数項。

ととろ

あ、しまった
＞全ての正の整数
ここは
全ての負でない整数
の間違いです。余計な混乱させてごめんなさい。

Mathematica

丁寧な説明ありがとうございます!
理解できましたm(_ _)m