Question

しんころ

（2）です。青ペンで書いた部分までは理解出来たのですが、答えはこれに付け加えて、（0,0)(0,2/3)を除く、と書いてあります。どうやったら除く点が分かるのか教えてほしいです🙇‍♀️

xy 平面上で, 2定点 A(1, 0), B(0, 2) から直線1:y=mxに下ろした垂線の足をそ
れぞれ M, N とし, 線分 MNを1:2に内分する点をPとする. ただし, m=0 のとき
は M=A, M=NのときはP=Mとする.
(1) 2点M, Nの座標を mを用いて表せ。
(2) m が変化するとき, Pの軌跡を求めよ。

hmtont
M(X.2).N(Ee)とおく
(り連像AMAe直線Bルとルなのて
直像AMと適提Bルの傾きはどちらも
Ane Brはをでれ(1.0)1012)を通るのが
C
m lゃー)
m
AM: は
Bル:ター2ェーベ→ン
シー
m
cmgと連立させる.
タンmpと塗立させる。
moe
a 2を mge
m
m
m
そ
を
m
mt
m
てこ
m?tl
m?t
m
Tm
m
m'キー
M
11
M
m, mt
m
2mt
mtt1 i met1)
2m
2m
m?tl
だから mtoで求のたMとMの生標に
優きー応m-0 を位入してはいけなu。
問題えを読しでMENを求nをことを書く
32 (m?t)こ 2(mtり
34-(m?+リ- 28(Mtl)
21ma)tベう。2(mm+な)
3はこ 2は+な)
4D
mc0gときっM 11.0)Nco.0) きー
D
1)点、Pは提分MNE1:2に内分する
mも0nをき
2x(mtl)
2(mmt2)
2m
t
tト
D
2
Zm
2m
t
m241
3
2
2(ntl)
3(m2tり( 3(mと+1)
2m (mtl)
ン
t
P
(ーナノー+(はー)
-す
2
2
2(ht!
2m(mty
3(mtt)
ベン
とおく、
C
3(mttl)
2m(mt)
3(mttり
こmoe

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

柳楽苺

頑張ってください。

しんころ

はい！頑張ります。答えて下さりありがとうございます。
場合分けしてからの考え方は理解できたのですが、
m＝−1のときと、m≠-1のときで場合分けした理由を教えていただけると有り難いです。何度もすみません。

柳楽苺

点Pはx≠0の条件下<(1)で求めたM、Nの値はx≠0の条件があるので>で求めているので、x=0になるm=0...(i)とx≠0になるm≠-1で場合分けをしています。

しんころ

ありがとうございます！分かりました。

Answer 2

寒

除く点が分かりやすい別の解き方もあります。
x=2(m+1)/3(m²+1) ⋯①
y=mx ⋯②
[i]x≠0のとき②を変形してm=y/x
①を変形して
3(m²+1)x=2(m+1)
これにm=y/xを代入すると、
3(y²/x²+1)x=2(y/x+1)
両辺をx/3倍して、
y²+x²=2y/3+2x/3
(x-1/3)²+(y-1/3)²=2/9
この式は、x≠0の条件のもとで出した式なので、x=0となる点を除外する必要がある。よって、(0,0), (0,2/3)を除く。
[ii]x=0のとき、①よりm=-1かつ②よりy=0
よって、m=-1のとき、(0,0)

一応、青ペンについての話もしておくと、
x≠0の場合分けが必要なところは、両辺をx倍するところです。
3x(m²+1)=2(m+1) ⇒ 3x²(m²+1)=2x(m+1)は常に成り立つので真ですが、その逆
3x²(m²+1)=2x(m+1) ⇒ 3x(m²+1)=2(m+1)
は偽です。(反例x=0,m≠-1)
文字で割るときのみならず、文字をかけるときも注意が必要です。同値性が崩れることがあるからです。
それはともかく、
3x(m²+1)=2(m+1) → 3x²(m²+1)=2x(m+1)
という変形によって、左の式では含まれない、x=0,m≠-1の場合が、右の式には含まれてしまっているので、右の式を満たすからといって左の式を満たすとは言えなくなってしまっています。だから、除く点はx=0,m≠-1の点となります。
よって、x=0となるような点つまり(0,0),(0,2/3)を除くわけです。

しんころ

今回も回答して下さりありがとうございます！いつも助かってます✨
理解できました。詳しく教えて下さりありがとうございます！