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解き方は何通りかあると思います.
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[解1] 微分法を利用する.
x^100を(x-1)^3で割った余りは高々2次式である. そこで実数a, b, cを用いてx^100=(x-1)^3*Q(x)+ax^2+bx+cと書ける.
ここでQ(x)は商を表す多項式(整式)である. xで逐次微分すると商の微分法から
100x^99=3(x-1)^2*Q(x)+(x-1)^3*Q'(x)+2ax+b
(100*99)x^98=6(x-1)Q(x)+6(x-1)^2Q'(x)+(x-1)^3Q''(x)+2a
という関係を得る. 最後の関係式についてx=1の場合を考えるとa=(100*99)/2=4950で, これが求める係数である.
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[解2] 二項定理を利用して展開してみる. 組み合わせnCmは見にくいのでC(n, m)と書くことにします.
二項定理を利用すると
x^100={(x-1)+1}^100=(Σ[k=3->100]C(100,k)(x-1)^k)+C(100, 2)(x-1)^2+C(100, 1)(x-1)+C(100,0)
と展開できる. Σで表された項は(x-1)^3で割り切れるので, 余りはそれより低次の項の和である.
余りの最高次は2次でその係数はC(100, 2)=(100*99)/2=4950である.
ありがとうございます🙇♂️