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119 2変数関数の最大 最小 (4)
187
OOOO0
/食数, yがx+y=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
/発めよ。また, そのときのx, yの値を求めよ。
封>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x?+y?=2から文字を減らしても,
要例題
びそのとき
【類南山大)
基本 98
基本86
2r+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいようにy=t-2xとして yを消去し, x*+y?=2 に代入すると
+(t-2x)=2 となり, xの2次方程式になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ=→ D20 の利用。
よい。
3章
CHART 最大 最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用
SUAHO
THAH
C
「答
の
tリ=tとおくと
これをx+y°=2に代入すると
y=t-2x
参考 実数 a, b, x, yにつ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー·シュワルツの不
x°+(t-2x)°=2
5x-4tx+t?-2=0
e次
等式)。
2
が2次
を消去する
鯉すると
このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は、
0の判別式をDとすると
(ax+by)<(α+6)(x+y)
[等号成立はay=bx]
a=2, b=1を代入すると
D20
ここで
4
D20から 2-10<0
=(-2t)-5(-2)=-(f-10)るケ (
x°+y?=2であるから
(2x+y)°<10
よって>
-10 <2x+y</10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして, 左と同じ答
えを導くことができる。
これを解いて
ー/10 Sts/10
1
-4t
2t
に+/10 のとき D=0で, ② は重解x=
をもつ。
5
2.5
に土、10 のとき x=±
5
2/10
V10
のから y=±
5
から
(複号同順)
したがって
2/10
/10
のとき最大値/10
x=
ソ=
のとき最小値 -V10|
5
2/10
V10
x=ー
y=ー
5
ガんでD30りのに
D=0だけ使うのか!!
32次不等式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ブドウくん

D=0のときを使っているというより、t=2x+yの最大値と最小値が知りたいから、-√10≦t≦√10の範囲における最大値√10と最小値-√10を使っているだけです。最大値が√10となるようなx,yと、最小値が-√10となるようなx,yを知りたいので、ちょうどこのときD=0となるのでD=0のときを考えています。わかりにくかったら、t=√10を②に代入してxを求めてから①でyを求める、t=-√10を②に代入してxを求めてから①でyを求めるとしてもOKです。

ブドウくん

ちなみに、この問題を解くには、数IIで習う線形計画法を使う方が一般的です。

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ありがとうございます(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))

ブドウくん

線形計画法とはちょっと違うかもしれないですが、要するに1次関数と円と考えるということです。最大値、最小値をとるときのx,yまでは求めていませんが、y=-2x+√10とx²+y²=2を連立したら求まります。この図のイメージがあれば、図形的に1点で接する=方程式の解が重解のときに最大値といえるので納得できると思います。

一般的な線形計画法の問題を2枚目に載せておきます。

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この1枚目の写真の公式を使うんですよね？貴方の1枚目の写真の下側にある式は私がとった2枚目の写真のように絶対値の中が-tとなると思うのですが、それで合ってますか？(答えは同じになると思うのですが、)

ブドウくん

そうですね。原点と直線①の距離=半径としています。
単なる計算ミスです、すみません。

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いえいえ全然大丈夫です。やり方は理解しました。本当にありがとうございました。