Question

りい

sin(90°－θ)=cosθはなぜ成り立ちますか？

Answer 1

おたま

皆さんの回答で良きですが
三角関数のグラフを使った考え方も
一応置いときますね☺️

りい

すごく分かりやすいですこれ…
グラフで考える発想もあるんですね、、
皆さんの回答で理解しましたが、おたまさんの解説見てもっと理解することができました！ありがとうございます🙇‍♀️

Answer 2

もんぶらん

こんな感じで、図形で理解するといざとなったとき早いです！
もし分からないことがあれば気軽に聞いてください！

りい

図示すると一発で出せますね…😖
ありがとうございます！助かりました！

Answer 3

seiya1122_404

直角三角形の横の長さをx、縦の長さをy、斜辺の長さをlとします。

sinθ = l ÷ y
cosθ = l ÷ x

直角三角形より直角じゃない2つの角度の合計が90°であることがわかります。
つまりsin(90° - θ) = もう一方の角でのsin

90度回転した状態での直角三角形の横の長さはy、縦の長さはx、斜辺の長さはlと表記できるので

sin(90° - θ) = l ÷ x

cosθ = l ÷ x より

sin(90° - θ) = cosθ が成り立ちます。

りい

あ、なるほど！！！
ずっと単位円の中で考えていたのでその発想に至りませんでした…ありがとうございます！🔅

seiya1122_404

単位円で考えるとしたら
θに0°や30°、45°、60°、90°(15°とか一応できるけど面倒くさいよ)を代入してみればなんとなくわかるけど...
たしかにどんな角度でもsin(90°-θ) = cosθ かどうかは証明できないね...。

単位円を使った証明(?)(sin(90°-θ)はsinθを下から上に読み進めます)
θ sinθ cosθ sin(90°-θ)
0° 0 1 1
30° 1/2 √3/2 √3/2
45° 1/√2 1/√2 1/√2
60° √3/2 1/2 1/2
90° 1 0 0

りい

丁寧な解説ありがとうございます🙇‍♀️
試験ですぐにsin(90-θ)を出さないといけない時は結構時間かかってめんどくさいですね、、
これからはすぐに直角三角形を書くことにします😣

Answer 4

しゃち

加法定理　sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
sin(90°-θ) = sin90°cosθ-cos90°sinθ
= cosθ

りい

あ、、確かに加法定理で考えたらすぐ出ました。。
ありがとうございます！助かりました😌