ページ3:

数学Ⅰ,数学A
(1) A,B,Cの3人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
(i) Aが2勝0敗ならば, Aが優勝する。 Aが2勝0敗で優勝する確率は
ア
イ
である。
(ii)Aが1勝1敗で優勝するためには, BもCも1勝1敗であることが必要で
ある。例えば,Aが勝つ相手がBであるとき, AがCに負けBがCに勝つこ
とが必要である。 表2は, この対戦結果を示し, この対戦結果になる確率は
ウ
エ
である。 この対戦結果になり, かつAが抽選により優勝者に選ばれ
ウ
る確率は
×
H
A
A
B
×
C
○
オカ
である。
表 2
0
B
勝ち数
負け数
抽選
○
×
1
1
1
1
×
1
1
✓
Aが勝つ相手はB,Cの2通りあることに注意すると, Aが1勝1敗で優勝
キ
する確率は
であることがわかる。
クケ
ア
キ
(i) と (ii) から, A が優勝する確率は
+
である。
イ
クケ
(数学Ⅰ 数学A第4問は次ページに続く。)

ページ4:

数学Ⅰ 数学A
(2)A, B, C, D の4人でリーグ戦を行うときにAが優勝する確率を考える。
Aが3勝0敗 ならば, A が優勝する。 また, Aが1勝2敗ならば, 2勝以上す
る人がいるためAは優勝しない。
Aが2勝1敗で優勝する確率を, 全敗する人がいる場合の確率と全敗する人が
いない場合の確率の和として求める。
(i) 全敗する人がいる場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を求める。
全敗する人は B, C, D の3通りある。例えば, Dが全敗するとき,対戦結
果の一部を示すと表3のようになる。
表 3
A
B
C
D 勝ち数
負け数
抽選
A
B
〇〇
C
○
D
×
×
×
0
3
コ
Dが全敗する確率は
である。 Dが全敗する場合, Aが2勝1敗で
サ
優勝するためには,AがD以外の2人との対戦で1勝1敗となることが必要
である。
以上のことから, (1) の (ii) の結果を用い, 全敗する人が B, C,D の3通り
あることに注意すると, 全敗する人がいる場合で,かつAが2勝1敗で優勝
シ
する確率は
であることがわかる。
スセ
(数学Ⅰ,数学A第4問は次ページに続く。)

ページ5:

数学Ⅰ 数学A
(ii) 全敗する人がいない場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を求める。
Aが2勝1敗のとき, A が負ける相手は B, C, D の3通りある。例えば,
Aが負ける相手がBであるとき, 対戦結果の一部を示すと表4のようにな
る。
表 4
A
B
C
D
勝ち数 負け数
抽選
A
×
2
1
B
C
C
D
×
このとき,Aが優勝するためには, Bは2勝1敗か1勝2敗であることが必
要である。例えば,表1は, AとBが2勝1敗である対戦結果の一つを示
し,AとBの2人が抽選の対象となったことを示す。
A
B
A
BO
C
D
×
×
×
×
0
○
C
×
表1 (再掲)
D
勝ち数
負け数
抽選
C
×
○
2
1
2
1
1
2
1
2
(数学Ⅰ 数学A 第4問は次ページに続く。)

ページ6:

(2)(iii)全敗する人がいない場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を
求める。
OBが2勝1敗になるのは2通りで、1勝2敗になるのも2通り
だから、A が B に負けCとDに勝ち優勝するときの対戦結果は
4通りある。
○表1より、AがBに負けて C D に勝つ確率は
12 2 4
-x-x =
3 3 3 27
このとき、B〜D がそれぞれ1勝1敗になる確率は
1 11 1
- x-x
― =
2 2 2 8
よって、AがBに負けて優勝する確率は
4
1
1
×
==
27 8
54
1
対戦結果は4通りあり、抽選で選ばれる確率は-
'
さらに A に負ける
2
相手が C, D のときもある(計3通り)ので、
全敗する人がいない場合で、Aが2勝1敗で優勝する確率は
1
1
x4x - x3 =
54
2
Aが2勝1敗で優勝する確率は
+
9
x-x = だから、
9
-
4
27
であり、Aが3勝0敗
人数が多くなれば優
勝する確率は小さく
27
2 2 2
8
で優勝する確率は
3
33 27
4
8
4
Aが優勝する確率は
+
27
27
9
14
以上から、この確率は(1)で求めた・ ・より
27
27
2|2|
だけ小さい。
||
なりそうだよね

ページ7:

(2)(i)全敗する人がいる場合で、かつAが2勝1敗で優勝する確率を
求める。
・Dが全敗する確率は
2 1 1 1
x-x =
3 2 2 6
A, B, C が D に勝つ
・AがB, Cに対して1勝1敗で優勝し、かつDが全敗する確率は
"
21
1
x-x=
27 6 81
・Aが C, D に対して1勝1敗で優勝し、かつBが全敗する確率も
211
x-x=
27 6 81
・AがB, D に対して1勝1敗で優勝し、かつCが全敗する確率も
2 1
x-x=
1
27 6 81
これらは互いに排反だから、 全敗する人がいて、かつAが2勝1敗で
1 1 1
1
優勝する確率は
+
81 81
81
27

ページ8:

2026年 共通テスト: 数学I・数学 A
自学 © Akagi
BとCの対戦:
2
2-3
4-9|
第4問 確率
2
準備 Aが勝つ:
A が負ける:
3
3
1
n
n人で抽選:
(1)(i)Aが2勝0敗で優勝する確率は
(ii)Aが勝つ相手が B であるとき
Avs B A が勝つ
2-3
-x
3
1
21
Avs CA が負ける
介
-=-X - x
3
33
1|2
1-9|
Bvs C
Bが勝つ
2
1
このとき、A が抽選により優勝者に選ばれる確率は
×
1
-=
9
3
1|2
Aが勝つ相手がCであるとき
3人だから n = 3
Aが抽選により優勝者に選ばれる確率も
よって、Aが1勝1敗で優勝する確率は
1
27
1
+
1 2
27 27
=
27
4 2
14
(i)と(ii)から、A が優勝する確率は
+
9 27
27
最後に使う

ページ9:

数学Ⅰ 数学A
全敗する人がいない場合で, かつAがBに負けCとDに勝ち優勝するとき
の対戦結果は ソ 通りある。 Aが負ける相手が B, C, D の3通りあるこ
とに注意すると,全敗する人がいない場合で,かつAが2勝1敗で優勝する
タ
確率は
であることがわかる。
チ
シ
タ
(i) と (ii) から, Aが2勝1敗で優勝する確率は
+
である。
スセ
チ
以上のことから,Aが3勝0敗で優勝する確率を考慮すると,A が優勝する確
ツ
率は
であることがわかる。 この確率は (1) で求めた3人でリーグ戦を行
テ
ト
うときにAが優勝する確率より
だけ ヌ
。
ナニ
ヌ の解答群
◎ 小さい
① 大きい