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高校2年生からの質問 -三角関数の最大・最小一 ▷教科書演習問題 B◄ 2学期期末考査対策 3 次のの関数の最大値と最小値, およびそのときのxの値を 求めよ。 y = sin' x +4sin xcosx + 5cos2x (0≦x<2 4 関数 y = 2sin xcosx + sinx + cos xについて,次の問いに 答えよ。 (1) t = sin x + cosxとして, y を の式で表せ。 (2) tのとりうる値の範囲を求めよ。 (3) yの最大値と最小値を求めよ。
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考え方の例 3 倍角表示→合成かな? ? ▷ 式変形 y = sin2x+4sin xcosx + 5cos2 x =4sin xcosx + sin 2 x + 5 cos2 X = 2.2sin xcosx + (1-cos' x) + 5 cos2 = 2.2sin xcosx + 2(2cos2x-1)+3 X =2sin2x+2cos 2x +3 倍角表示 2x =√22 + 22 sin(2x+1) +3 合成 +22 兀T 4 =2√2sin(2x+-) + 3 4 ) 2x
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▷ 不等式変形 0≦x<2π →> 0≤2x < 4 πT π 17 →> ≤2x+ < 兀 ･･※単位円2周 4 4 4 → πT -1sin(2x+ ≤1 …※※ 4 -2√2 ≤2√2 sin(2x+7) ≤ 2√2 4 -2√2+3≤2√2 sin(2x+4)+3≤2√2+3 最小値 最大値 ↑
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考え方の例 4 模試でよく見るパターン y = 2sin xcosx + sin x + cos x (1) t = sinx + cos x ・・・ ① ①の両辺を2乗してf = (sinx + cosx)2 2 t2 = sin 2 x + 2 sin xcosx + cos x t2 -1 = 2sin xcosx... ② ①と②を与式に代入すると y=(2-1)+t 整理して y=t2+t-1圈
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(2) t = sin x + cosx の右辺を合成すると = √12 +12 sin(x + =√2 sin(x + πT 4 兀C -1≦ sin(x+2) ≦1 より よって -√2 ≦ √2 sin(x+2)≦√2 √√
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7-2 ▷ 角度を求める (※の範囲で※※を等式にして) ○最小 -1 = sin(2x+2)を解くと π ○ 最大 sin (2x+-)=1を解くと osin(2x+ 4 πT 2x+ = 4 ∴.x = 5-8 ・π, 3-2 ・π, 13 πT 兀 2x+ = |4 2 8 , ・πT 以上より || 0017 8 5-8 x=-π, 9-8 13 8 兀T 9 ∴.x= π 8 8 のとき最大値 2√2+3 πT 5-2 πT をとる のとき最小値-2√2+3
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(3)(1),(2)より y = 12 +1-1 (-√√2) 5 平方完成すると 2 (+12) ･･･※※ 4 ※の範囲で放物線※※をお絵かきしてみると 1+√√2 1 √2 2 √2 5 4 5 最大値は1+√2, 最小値は- 4
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