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2つの自然数a,b (a < b) の和が132, 最小公倍数が336であると
〈福岡大〉
き, 最大公約数とα, bを求めよ。
49 最大公約数 最小公倍数
α, b の最大公約数をGとすると
a=Ga', b=Gb' (a', 6' は互いに素)と表せる。
a+b=132 から Ga'+G6' =132
... G(a'+6')=12×11
また, 最小公倍数L=336 から
L=Ga'b'=336=12×28
1128 は互いに素だから
最大公約数は 12
また、α'+6'=11, α'b' = 28 だから
α′,6′はt2-11t+28=0の解である。
(t-4)(t-7)=0 ∴ t=4, 7
a<bより α'=4, 6′=7
よって, α = 4×12=48
b=7×12=84
.......
1² (35) 8.15
α'と6' が互いに素であるとき
互いに素である。
これの意味、必要性
6'11-α′ を α'6'=28に代入
4 JS POS
して解くと
a' (11-α')=28 より
アドバイス
●2つの数1218の最大公約数は6だから 12 = 6×2,186 × 3 と表せる。こ
こで、大切なのは最大公約数6に掛けられる2と3は互いに素であることだ。
●このように、2つの自然数 α, b について, 最大公約数がGであるとき,
(a'-4) (a'-7)=0
a'=4, 7
a=Ga'
b=Gb'
a=Ga', b=Gb' と表せる。 ただし,α', 6' は互いに素である。
●このとき
Tazas
最小公倍数は L=Gα'b', a, b の積は ab= Ga'×G6' =LG
と表せる。
2つの自然数a,bの最大公約数と最小公倍数
G.C.D. = G
(最大公約数)
L.C.M.=L
( 最小公倍数 )
これで解決!
互いに素 L=Ga'b', ab=LG
■練習49 (1) 3桁の自然数が2つあり, その和が756, 最大公約数が84 である。このよ
うな自然数の組をすべて求めよ。
(2)a,bは自然数で, a≧b とし, a + b は a, bの最大公約数の5倍に等しく,6ab
倉敷芸科大>
〈津田塾大〉
はαの最小公倍数の2乗に等しい。 このとき,
a
b
を求めよ。
角
ア
ア
LY
解
練