数Ⅲの極限です。 マーカー部分なのですが、上では＜だったのに下で突然≦になったのは何故でしょうか？ なにか意図があって変えているんですか？それとも極限を求めるにあたって=の有無はどうでもいいから付けといたみたいな感じですか？💦

9 はさみうちの原理 a1=0, an+1= 4 (1) 0≦a<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ. (2) 1-an+1< が成り立つことを示せ . 1-an 2 (3) liman を求めよ. n→∞ an²+36 FESJARIL (n=1, 2, ......) で定義される数列{an} について 1 2n-1 (1)により, 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1=f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある. 1°am の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, liman+1 = α であるから, αは α = f(α) を 満たす. これからαの値を予想する. n→∞0 n→∞0 2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f (α) の辺々を引くと, an+1- α = f(an) - f(a) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦ん<1である定数 ..☆ の形の不等式を導く.すると,|an-α|≦klan-1-a|≦ke|an-2-a|≦... ≦kn-1|a-a| 0≦an-akskn-1|α1-α| limk"-1|a-α|=0 であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0 言解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立,つまり 0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について, 0≤ak+1 <1 4 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された . DATART an² +3 1-an (2) 漸化式から, 1-an+1=1- (1-an) 4 4 1-an>0であるから, 1+ an 4 n→∞ (なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →α とは結論できない) 02312+3 -≤ak+1 <= < 1+1=1/12/2 4 .. 1-an+1< -1</2/(1-an) (3) 1-a>0と①を繰り返し用いることにより, 1 1 0≤1-an < (1-an-1)< (1- -an-2)<... <- 22 2n-1 1tan_ 4 (解答は27) -(1-a₁)= - 0 より はさみうちの原理から lim (1-4m) = 0 n-00 1 2n-1 liman=1 (岡山県大・情報工-中) 1118 :. an→α (n→∞) 0≦x<1のとき,02≦a² <12 ←漸化式を用いて1-Qn+1 を anで 表す. 本問の場合、求める極限値をα として, 1° を使うと, a²+3 α= 4 からαの値が予想できる. a=1, 3

左下の🟥で囲ったとこなんですが＝がついてるのは何故でしょうか？ 左上の🟦が示せているので＝はつかないと思ったのですが。 よろしくお願いします。

an²+3 4 (n=1, 2, ……) で定義される数列{an}について a1=0, an+1 (1) 0≦an<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ. 1-an (2) 1-an+1< が成り立つことを示せ . 2 (3) liman を求めよ. n→∞ 1 2n-1 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として,以下の方法がある. an の極限が存在して,その値がαならば, lima,=α, lima,+1=α であるから, αはα = f(α) を 1° 満たす.これからαの値を予想する. 2°与えられた漸化式 an+1=f(a) と α = f(α)の辺々を引くと, an+1-α=f(a) - f(α) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-αl, kは 0≦x<1である定数・ の形の不等式を導く. すると,|an-al≦klan-1-al≦k2|an-2-al≦..≦kn-1|a-a| 0≦an-a|≦kn-1|α-a| limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0 n→∞ · ≤ak+1<- 解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n =kでの成立,つまり0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について, 02+3 12+3 .. 0≦ak+1 <1 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された. an²2+3 1-an² 2 1+ an (2) 漸化式から, 1-an+1=1-- (1-an) 4 4 4 (1)により tan1+1=1/21-0,>0であるから, 4 = 1-a₂+1 <1/12/2 (3) 1-a>0と、① を繰り返し用いることにより, 01-an</(1-an-1) 22 (1-0₁-2) <... < ・(1- 2² (なお、要点の整理・例題 (8) からのkは定数でないと, an→α とは結論できない) -(1-an) (1 n→∞ 2n-1 n→∞ (1−1)=1 →0より, はさみうちの原理から lim (1-am) = 0 n→∞ HAS 2n-1 liman=1 118 (岡山県大情報工-中 an→α (n→∞) 0≦x<1のとき,02≦ak2/12 漸化式を用いて 1-an+1 を an 表す. a= 本問の場合、求める極限値を として, 1° を使うと, a²+3 4 からαの値が予想できる. ∴.α=1,3

⑴で、まずなぜこれで平均値の定理を使うのか、そして、いま①において〜の不等式がよくわかりません。どなたか教えてください🙇‍♂️

7.3 (S) FRAN f(x) は微分可能な関数とする。 すべての実数xに対して|'(x) | </1/2であ るとき, 次の問に答えよ. (1) 方程式f(x) - x = 0 はただ1つの実数解をもつことを証明せよ. PRO (2)(1) の実数解をα とする. 数列{an} が an+1=f(an) (n=1, 2, 3, …) を満 たすならば, liman= a n→∞ が成り立つことを証明せよ。曲 (0.5)¶

極限の問題です。黄色マーカで塗った箇所が分かりません。解説をお願いします。

8. α1=0, an+1= 4 0≦am <1が成り立つことを 数学的帰納法で示せ . が成り立つことを示せ . 19 はさみうちの原理 an² +3 (2) 1-an+1<- 2 (3) liman を求めよ. 1-an (1) により, (n=1,2,………) で定義される数列{an}について 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある. 1° 4m の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, lim an+1=α であるから, αはα = f(α) を 満たす. これからαの値を予想する. 22-00 12-00 2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f(α) の辺々を引くと, an+1- α = f (am) - f (α) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦k<1である定数 の形の不等式を導く.すると,|an-a|≦klan-1-a|≦k2|an-2-α|≦….≦kn-1|α1-α| · 0≤|an-a|≤k"−¹|a₁-a| 解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立, つまり 0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について, 0²+3 12+3 ·≤Ak+1 <- 0≦ak+1 <1 4 4 よってn=k+1のときも成立するから,数学的帰納法により示された. 2+3 an 1-a₂² (2) 漸化式から, 1-an+1=1-- 1+ an 4 4 4 1+an 1+1 4 1 2n-1 limk"-1|41-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0 12-00 (なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →αとは結論できない) 0≤1-an<(1-an- 4 2 1-an+1</(1-an) (3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより, 1 22-1 1->0であるから, 1½ (1-an-1) < -½ 2₂ (1-ªn-2) < ···<; (1- →0 より はさみうちの原理から lim (1-an)=0 n-00 9 演習題 ( 解答は p.27 ) 1 4-a,2² In. (1-an) -(1-a₁)= .. 1 2n-1 liman=1 818 (岡山県大情報工-中) ‥. an→a (n→∞) (n=1, 2, ...) をみたす. 0≦x<1のとき,02≦ak2/12 漸化式を用いて1-Qn+1 を an で 表す. 本問の場合, 求める極限値を α として, 1° を使うと、 a²+3 4 からαの値が予想できる. 数列 an (n=1, 2, …) は, α=0, an+1= (1) すべての自然数nに対し, 0≦a < 1 が成り立つことを示せ . (2) 3次方程式-4x+1=0は0<x<1においてただ一つの解αをもつことを示せ。 (3) (2)のαに対し lau-al≤8\a-a! (n=1 ? …) tini hii. a= ∴. α=1,3 (1 (2 (E

おはよう御座います。 数列の特性方程式に関してわからない部分があったため、質問させていただきます。 画像に載せておりますが、 赤線で引いた式が前の式からどのように導きだされたかが分からないです。 分かる方、お教えください。 よろしくお願いいたします🤲

4 An+₁ = pan + g (Butte Anti → @= p @ + & €¥ B). Anti = 4an-3₁ A₁ = 2 Anth-1 = 4 (An-1) (F) An-1 = (Q₁-1) 4h-1 4h-y ? 1 An = 4"- ¹ + 1₁

数列の問題です。画像2枚目には問題(2)のグラフ的な考え方が載っているのですが、この考え方を解答とするのはダメでしょうか？ 二項間漸化式が与えられている時のa_(n+1)=a_nとなるa_nというのは極限値そのものであるような気がします。

43 漸化式と極限 (1) ☆☆ (2) 安 a=1, an+1= 1/12an+1 (n=1,2,3,…) で定まる数列{an} につい ) 3 て 次の問いに答えよ. (1) 一般項an を求めよ. (2) 数列{an} の極限値を求めよ. 44

逆関数がよくわかりません どうして写真のような変形ができるのかを教えてください🙏🏻

(4) a,=g(b.) とおくと, an+1=f (an) より 本熱 (土)1は5 (2gol+1) (yol) る た g(ba1) =f(g(b)) 7 6=g-'sg(b.)) = -- b. (2)より) 1 ba+1=g"'(f(g(b,))) = b,(2)より) 4 Q また b=g'(a))=g"'(g (/2))=V2 s公異上離ふtは よって 6,-12(-) 1\2-1 bn 4/ ヶ 2/2(- n-1 26,+1 4 +1 = ("9) 6="D ーb,+2 ·(答) n-1 -12 +2 -<1より im n-1 =0であるので 8↑ u lima. ニ (た)

波線の意味がよくわからないので教えてください。

1より小さいn個の正数の職 ☆のkが定数でないと 簡単には解くことのできない2項間の漸化式 an+1=f(am)の極限値を のた、前問のように視覚に頼らないとすれば、2つの方法があってここで 第1の方法を紹介しよう、(次の 5. が第2の方法) であることを Z+1-as(z,-a) 3 2n 2n-1.2n-2 2n+1 2n 2n-1 n+1 は で、n→ 0のとき ます, 3. の方法などにより極限値αを予想し,与えられた漸化式から Tan+1-alskla,-al. kは0sk<1である定数 2n+1 は収束しない(1/2 に収束) 考えると,☆のe は“定新 いと,an→a(n→ )と できない。 ■入試では 本間のように,とりあえも の形の不等式を導く. すると, 0Sla,-alS"-1リa-al an→a(n→ 8) であるから,はさみうちの原理により, la,-al0 【解答) 等式を証明させる問題が 『If(z)|の最大値をMと a=f(a)によって定める。 値の定理により、 a>1 により,Z」=azVa また,あきらかに Z>0であるから,相加·相乗平均の不等式により, a -=Va a Te+1= If (a,)-f(a)|<M\a よって,つねにZ,w{aである. 次に, 2 Ei, t :. lan+1-aSMIla,- という流れの問題も少なく ちろん, M<1を示すこと トになる。 2 a In 3 エa+」ーa(-) 32,2 3 1 a 3 3エn であるから,確かに ~が成り立つ。この~~を繰り返し使うことにより, 2 \n-1 0Sエ,-as 3 よって,はさみうちの原理により, lim(z,-Va)=0 .:. limz,=a n→0 n→0 X 5. 解けない漸化式と極限(2) 漸化式a,=2, 2an+1Qn=a,?+2 (n=1, 2, …) で定められる数列 {a,} を考える。 (1) an2V2, an+1Sa, (n=1, 2, …) を示せ。 (2) lima,=V2 を示せ れーO 【Point】前問のPoint の☆のkは, anニ¥2 を示したあと, a+2-2/2a,_aュー 「教科書にはないが 左の定理は教科書に ,-12 20m によってk=1/2ならよいことがわかるが, kが与えられていないときは, 単調で有界な数列は収束する (rp.24) という定理に目を向けよう. an+1=f(an)で定める数列 {a,} が収束することか 覚的に明らかなので, ても減点されることに an+1-V2= 2a。 ■前問の傍注の手法 2 エ+ いえたなら, その極限値αはα=f(α) をみたすことから, αを具体的に求める について,げ(エバー ことができる。 【解答】(1) 明らかに a,>0 (n=1, 2, …) であるから, はうより小さいの an 1 an 1 an+1= 2 =(2 2 : a,22 (n=2, 3, …) an an 84

大問2なのですが ⑵の最後の式のマイナス2とプラス2（波線の部分）はなにをあらわしてるのでしょうか？

29 問題と考え方 解答 北海道大学- (前期日程)○総合入試(理系)·医 (医 ·保健 〈理学療法 放射線技術科学 検査技術科学)) 歯·獣医,水産◇ 2月25日 (時間) 120分 (入試科目) 数I·I. I·A·B (列) (試験日) 三角形 ABC について = 1, |AC| = 2, BC| = V6 が成立しているとする.三角形ABC の外接円の中心を ○とし, 直線 AO と外接円とのA以外の交点 |AB 一あるか をPとする。 (1) AB と AC の内積を求めよ。 (2) AP = sAB+ tAC が成り立つような実数 s, tを求めよ。 (3) 直線 AP と直線 BC の交点をDとするとき, 線分 AD の長さを求めよ。 2 座標平面上の2点(高0). (0, )を通る直線!を考える。 (1) 1上にある格子点の座標をすべて求めよ. ただし, 格子点とはその点のェ座標とy座標がともに整 数であるような点のことである。 (2) 1上の格子点のうち, 原点との距離が最小となる点をAとする。また, 1上の A以外の格子点のう ち,原点との距離が最小となる点をBとする. さらに, Aのェ座標とBのy座標をそれぞれ 座標 とy座標とする点をCとする. 三角形 ABC の内部および周上にある格子点の個数を求めよ。 nを2以上の自然数とする.1個のさいころを続けてn回投げる試行を行い,出た目を順にX1, X2, ·…, Xn とする。 (1) X1, X2, …, Xn の最大公約数が3となる確率をn の式で表せ。 (2) X1, X2, …, X,の最大公約数が1となる確率をnの式で表せ. (3) X1, X2, …., Xn の最小公倍数が 20 となる確率をnの式で表せ。 4 aを0<a<1を満たす実数とし,f(z) = sin とする. 数列 {an} が a1 = a, an+1 = f(an) (n =D 1, 2, … ) 2 へ で定義されるとき,次の問に答えよ。 (1)すべての自然数nに対して, 0< an<1かつ an+1 > an が成り立つことを示せ。 「- an+1 とおくとき、すべての自然数nに対して, bn+1 < bnが成り立つことを示せ。 1- an (2) bn = (3) lim an および (2) で定めた {bn} に対して lim bn を求めよ。 n→0 aを正の定数とする, 微分可能な関数f(z) はすべての実数aに対して次の条件を満たしているとする。 f'(t) n→ dt = ar 0<()<1, -10 {1- f(t)}f(t) さらに,f(0) = であるとする。 (1) f(x) を求めよ。 88 ()田線y= f(z) と a軸および2直線3D0, a=1で囲まれる図形の面積 S(a) を求めよ,さらに lim S(a) を求めよ。 a→+0

(5)について質問です。解答では2が答えになっていますが、私は(3)の答えより2と4が答えだと思います。私の何が違うのでしょうか。

○2 f(z)=22 とし, 数列 {a,} を a=1, an+1=f(an) (n=1, 2, …) / によって定める。 (1) anくan+1 (n=1, 2, …) を示せ. (2) an<2(=1, 2, …) を示せ。 (3) f(z)=zをみたす:を求めよ。 (4) f(a)=aのとき, α-an+1< alog2 -(αlan) (n=D1, 2, …) 2 が成り立つことを示せ。 (5) lim an を求めよ. ただし, e>2であることは証明なしに用いてよい. n→o (大分大·医/(5)のただし書きを変更) ン し