数学
高校生

⑴で、まずなぜこれで平均値の定理を使うのか、そして、いま①において〜の不等式がよくわかりません。どなたか教えてください🙇‍♂️

7.3 (S) FRAN f(x) は微分可能な関数とする。 すべての実数xに対して|'(x) | </1/2であ るとき, 次の問に答えよ. (1) 方程式f(x) - x = 0 はただ1つの実数解をもつことを証明せよ. PRO (2)(1) の実数解をα とする. 数列{an} が an+1=f(an) (n=1, 2, 3, …) を満 たすならば, liman= a n→∞ が成り立つことを証明せよ。曲 (0.5)¶
(1) g(x)=f(x) -xとおくと, g'(x)=f'(x) -1である. ①端点の符号 ②単調性 いま, If'(x)|</より、 1<= 1/2* 1 - } / {<f(x) < 1/1/2 2 3 2 1 </(x-1<- 3 1/12 g(x)</12 (①)であるから, g(x)はxERで単調減少である場点の行きつく先は損様 →極限を調べる また, g(x) は x∈ R で連続, 微分可能であるから, 平均値の定理より, g(x) - g(0) x-0 を調べる -=g'(c) つまりg(x)-g(0)=(x-0)g'(c)... ① を満たすcが, 0とxの間に存在する. つまり, 0<xのとき、0<c<x 0=xのとき,0=c=x 0>xのとき、 x<c<0である. (1-0) g'(c) いま, ① において, lim g(x) = lim X-8 0<xのとき,g(x) - g(0) <- 123xつまりg(x)<- 0=xのとき, g(x) - g(0) = 0 つまり g(x) = g(0) 0>xのとき,g(x)-g(0) このとき, lim g(x)=lim{-1/2x+g(0)}=- x つまりg(x)</12/2x+g(0) 12/2x+g(0) -1/23才つまりg(x) 1/12x+g(0)=0であるから、 方程式 g(x)=0つまりf(x)-x=0はただ1つの実数解をもつことが示された.
微分積分 平均値の定理

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