問題 2. Gを位数nの有限群とする. a∈G と be G について, a = g-1-b-g となるg∈Gが存在する
ときa~b と定め, 二項関係を定義する.
(1) 二項関係~は同値関係であることを示せ .
(2) 同値関係~による同値類の個数をmとする. Gが可換であるための必要十分条件は, m=nであ
ることを示せ .
(3) a∈Gについて, N (a) == {g ∈G|a = g-1.a-g} とおく. N (a) はGの部分群であることを示せ .
(4) [a] == {b∈G|a ~ b} とおく. [a] の元の個数は G/N (α)の元の個数と等しいことを示せ .
(5) nが素数pの平方と等しいとする. Gは可換であることを示せ。