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(2)Gが可換のとき
a~b⇒a=g^(-1)bg⇒a=g^(-1)gb⇒a=b
よって任意の元aに対してそれと同値な元はaに限る。
[a]={a}
よって同値類の数mはGの元の数nと一致する。m=n
(3)N(a):aの中心化群。これが部分群の定義を満たすことを確認してください。
(4)Gの元g1,g2について
g1ag1^(-1)=g2ag2^(-1)
⇔(g2^(-1)g1)a=a(g2^(-1)g1)
⇔g2^(-1)g1 ∊ N(a)
⇔g1とg2はG/N(a)の同じ剰余類に属する。
よって
[a]={gag^(-1)|g∊G}
の元の個数はG/N(a)の元の個数と一致する。
([a]の元の個数はいろんなgをaに作用させて変化させてできる元の種類だが、同じG/N(a)に属する元を作用させても同じものしか得られないし違うG/N(a)の元を作用させると異なる元を得るため)
(この事実はGのGへの共役作用による軌道とその固定群である中心化群の、軌道・固定群定理)
(5)http://hooktail.sub.jp/algebra/CenteredGroup/
(中心についての知識を使わずに中心化群だけで示そうとしましたが、よくわからなかったです)
すみません、m=n⇒可換 を示していなかったですね。
証明を読んだのですが、必要な言葉が抜けていて式をどう解釈していいのかよくわからないところがあります。
Gが可換とは任意の元a,bに対してab=ba
ですから
Gが可換でないとはある2つの元a,bが存在してab≠ba
です。
だから
「可換でないと仮定するとga≠ag」
とは
「可換でないと仮定するとga≠agとなる元a,gが存在する」
ということだと思います。
「b=gag^-1」
とあるので、言葉を補うと
「上のaに同値なbを考えると、ある元gが存在してb=gag^-1」
となると思います。
しかし、
初めに導入したaと交換しない元gと
aと同値なbを結びつける元g(b=gag^-1)
が同じgである保証はありません。
一般的には
b=hah^-1
のように他の元hでaとbが同値になっているはずです。
ですから証明の流れがよくわかりません。
解答例を挙げます
m=nのとき、任意の元aに対して
[a]={a}
これは[a]={gag^(-1)|g∊G}
であったから
任意の元gに対して
gag^(-1)=a
であることを意味する。
よって
ga=ag
これが任意のa,gに対して成り立つからGは可換である。
(2)のm=n⇒可換の証明はありますか？
自分なりに考えたのですがどうでしょうか？
可換でないと仮定するとga≠ag
b=gag^-1よりbg=ga
a=bだとag=gaとなり可換でないことに矛盾
よってaとbは異なるが二項関係は成り立つ
すなわちm=n⇒可換