なんで黄色のところは↗︎になるんですか？

基本 関数y= 指針 例 338 基本例 次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。 (1) y=3x-16x +18x2+5 211 4次関数の極値グラフ (2) y=x^-8x3+18x2-11 3次関数の極値やグラフと同じ方針で 00000 基本209 210 218 解答 指針 4次関数であっても, p.335~337 で学習した3 める。 つまり、次の手順による。 ①y を求め,まず, y = 0 となるxの値を求める。 ②yの符号の変化を調べる (増減表を作る)。 ③ 作成した増減表をもとにしてグラフをかく。 CHART 関数の極値・グラフ y'の符号の変化を調べて増減表を作る (1)y=12x-48x2+36x =12x(x2-4x+3) =12x(x-1)(x-3) y = 0 とすると x=0, 1,3 yの増減表は次のようになる。 5 10 1 3 X | z=y=12x(x-1)(x-3) のグラフ ZA +0 ... x 0 1 3 ... y' 0 + 0 0 + 極小 |極大 y 5 |極小| -22 -22 よって 10 x=0で極小値5,x=1で極大値10, x=3で極小値-22 をとる。また,グラフは右上の図のようになる。 (2) y'=4x3-24x2+36x=4x(x2-6x+9) =4x(x-3)2 y=0 とすると x=0,3 yの増減表は次のようになる。 Ay ((S)XS16 2か所で極小となる。 解答 |z=y'=4x(x-3)'のグ ラフ ZA 検討 x *** 0 3 A y' 0 + 20 + 1 3 極小 + 0 3 I XD y |-11 167 C-11 よって x=0で極小値11 をとる。また, グラフは右上の図のようになる。 極小値のみをとる。 注意 (2)で,x=3のとき極値はとらない。 なお, p.336 の例題 210 (2) 同様, グラフ上のx座標が3である点における接線x=3のとき=0 の傾きは0である。 練習 次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。 ②211 (1) y=x8x2+7 (2)

211(2)で16は何で極大にならないんですか？

基本 関数y= 指針 例 338 基本例 次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。 (1) y=3x-16x +18x2+5 211 4次関数の極値, グラフ (2) y=x^-8x3+18x2-11 00000 3次関数の極値やグラフと同じ方針で 基本 209 210 218 解答 指針 4次関数であっても, p.335~337 で学習した3 める。 つまり、次の手順による。 ①y を求め,まず, y = 0 となるxの値を求める。 ②yの符号の変化を調べる (増減表を作る)。 ③ 作成した増減表をもとにしてグラフをかく。 CHART 関数の極値・グラフ y'の符号の変化を調べて増減表を作る (1)y=12x-48x2+36x =12x(x2-4x+3) =12x(x-1)(x-3) y = 0 とすると x=0, 1,3 yの増減表は次のようになる。 5 10 I 3 | z=y=12x(x-1)(x-3) のグラフ ZA 0 1 ... x 0 1 3 ... y' 0 + 0 0 + 極小 |極大 y 5 10 |極小 -22 -22 よって X 解答 x=0で極小値 5,x=1で極大値10, x=3で極小値-22 をとる。また,グラフは右上の図のようになる。 (2) y'=4x3-24x2+36x=4x(x2-6x+9) =4x(x-3)2 y=0 とすると x=0,3 yの増減表は次のようになる。 Ay ((S)XS16 2か所で極小となる。 |z=y'=4x(x-3)'のグ ラフ ZA x *** 0 3 y' 0 + 20 + 1 3 極小 y |-11 167 -11 よって x=0で極小値11 A + 0 3 I 極小値のみをとる。 をとる。また, グラフは右上の図のようになる。 注意 (2)で,x=3のとき極値はとらない。 なお, p.336 の例題 210 (2) 同様, グラフ上のx座標が3である点における接線x=3のとき=0 の傾きは0である。 練習 次の関数の極値を求め、 そのグラフの概形をかけ。 ②211 (1) y=x-8x2+7 (2) 検討

微分に着いてです。総合問題30の方で質問があるのですが、類題では（画像3枚目）x＝0になる場合も考えているのにこの問題では考えていないのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

用いて表す。 総合 実数a, b に対し, 関数f(x)=x^+2ax3+(a2+1)x2-a3+α+bがただ1つの極値をもち, その 30 極値が0以上になるとき, a, b の満たす条件を求めよ。 f'(x)=4x3+6ax2+2(a2+1)x=2x(2x2+3ax+a2+1) [類 横浜国大] 本冊 数学Ⅱ 例題 218 まず、微分する。 f'(x) =0 とすると x=0, 2x2+3ax+a2+1=0 xの2次方程式 2x2+3ax+a2+1=0 ...... ①の判別式をDと ←① の実数解の個数が するとD=(3a)2-4・2・(a+1)=α²-8=(a+2√2) (α-2√2) X [1] D>0 すなわち a< 2√22√2 <a のとき カギとなる。それはD の符号によって変わって くるから,D>0,D=0, α+1>0より,x=0は①の解ではないから,①はx=0以D<0 に分ける。 外の異なる2つの実数解をもつ。 ゆえに、f'(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。 この3つの解をα, B, y (a<B<y) とすると, f (x) の増減 x 表は次のようになる。 10 a B r ... ←本冊 p.347 の 参考 参 0 +0 0 + 照。 極大 \ 極小 > f'(x) f(x) 極小 よって, f(x) は極値を3つもつから、不適。 ◯[2] D0 すなわち a=±2√2 のとき ①は重解 x=- 2-2 3 3a == -α をもち 2x2+3ax+a2+1≧0 4 3 ←等号はx=- aのと き成り立つ。 (i) a=2√2のとき 3√√2 f'(x) = 0 は x=0, を解にもつから, 3√√2 XC 0 2 -2 f(x) の増減表は右のようになる。 f'(x) - 20 + 0 + よって, f(x) は x=0で極小となり, 極値0- を1つだけもつから,適する。 f(x) 極小 f √(3√2) (ii) a=2√2のとき f'(x)=0 は x=- 3√√2 2 0を解にもつか 3√√2 XC 0 ら,f(x) の増減表は右のようになる。 2 値を1つだけもつから,適する。 よって, f(x) は x=0で極小となり,極 f'(x) - 0 f(x) (3√2 2 20 ▼ 極小 > : +

微分の問題です。(2)なのですが極大値と極小値を持てば良いのなら、微分したものが異なる2つの実数解を持てば良いと思ったのですが、なぜ3つでなくてはいけないのでしょうか？教えて頂きたいです。

f(x)=x+4x3+αx2 について,次の条件を満たす定数αの値の範囲を求めよ。 18 ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 23.2.27 p.348 EX 14

なぜ引き算をすると重解を求める式にすることができるのか証明して頂きたいです。よろしくお願いします。

364 2.2.27 演習 例 231 4次関数のグラフと2点で接する直線 00000 関数y=x(x-4)のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 [類 埼玉大 ] +16>12x 基本 20 指針 次の1~3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4),s≠t]。 3 の考え方で解いてみ よう。 h 1 点(t,f(t))における接線が,y=f(x)のグラフと点(s, f(s)) で接する。 2点(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。 ③ y=f(x) のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=tの点で接するとして f(x) =mx+nが重解s, tをもつ。→f(x) (mx+n)=(x-s)(x-t) 28(2-4)=(math)より y=x(x-4) のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x=t 解答(s≠t) の点で接するとすると、次のxの恒等式が成り立つ。 x(x-4)(mx+n)=(x-3)(x-1)^ (左辺) =x-4x-mx-n (右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2 YA にらを入れると口になる x S =x^+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2 =x-2(s+t)x3+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+s2t2 両辺の係数を比較して (x+x)x-=1- -4=-2(s+t) -m=-2(s+t)st ①から ①, 0= (s+t)'+2st ...... ②, ....2, 下の別解 は,指針の① 3, -n=s²t²......④D s+t=2 ③から m=-8 これと②から (I-st=-2 ④から の考え方によるもので ある。 n=-4 s,tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと u=1±√3ss≠t を確認する。 よって, y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+√3 の 点で接する直線があり、 その方程式は y=-8x-4

微分の問題なのですが、解説には異なる3つの実数解を持たないことが条件だと書いてありますが、2つや1つの場合でも極大値が存在してしまうのではないかと思いました。教えて頂きたいです。

点線をつくらないようにする 重要 例題 218 4次関数が極大値をもたない条件 00000 | 関数f(x)=x^-8x3+18kx2 が極大値をもたないとき 定数の値の範囲を求め よ。 4次関数 f(x) がx=pで極大値をもつ 指針 [福島大] 基本 211 214 347 万物 であるから, f'(x) の符号が「正から負に変わらない条件を 考える。 3次関数f(x)のグラフと x軸の上下関係をイメー x=pの前後で3次関数ff'(x)の符号が正から負に変わる f(x)+ x ... Þ 0 f(x) \ ジするとよい。 なお、解答の右横の図はy=x(x2-6x+9k) のグラフである。 解答 f'(x)=4x-24x2+36kx=4x(x-6x+9k) ←口以上 あるこのとろ 本にな k≥1 k>1 f(x) が極大値をもたないための条件は,f(x)=0 の実数 解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ る。このことは,f'(x)のxの係数は正であるから,3次 方程式f'(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと 同じである。 もし3つの解をもって必ず極大値が存在する。 x=0 または x2-6x+9k=0 f'(x) =0 とすると よって、 求める条件は, x2-6x+9k=0が [1] 重解または虚数解をもつ [2] x=0 を解にもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると k=0 YA k=1 4つの解が 出てこなけ ればOK. 3 x 0 ars D≦0 D =(-3)2-9k=9(1-k)であるから 30 1-k≤0 よって は、 k≧1 6/ x 6 章 虎or [2] 2-6x+9k=0にx=0 を代入すると ●ゆるカーブしたがって k=0 極地 k=0, k≥1 グラフの増減が 入れ替わること、 (ポイント) f(0)が異なる3つの 4x(x2600+91) 解を1つだけにすればよい 解をもつことが 条件 一般に 4次関数 f(x) [4次の係数は正] に対し、f'(x) = 0 は のが数で 30

369番の問題で、f'(x)＝0が異なる4つの実数解を持つとき、その前後でf'(x)の符号が変わると言えるのはなぜですか？ f'(x)=0があってもその前後で符号が変わらない4次関数のグラフもあるけれど、なぜこの問題では符号が変わると言い切れるのか疑問に思いました。

6 発展 ax x2+1 つもつような定数aの値の範囲を求めよ。 369 関数 f(x)=2x+ が極大値と極小値をそれぞれ2つず 4

同じ文字の置き換えの問題です チャートの方は最後xの値まで求めていますが 文系の数学の方は最小値のみです xの値を求めるか求めないかの違い、見極め方を教えてください

10 置きかえの利用 MXFORES x が実数全体を変化するとき 関数y=(x2-2x)2 +4 (x2-2x) の最小値 を求めよ. (北海道工業大) [解答] y=(x2-2x)2+4(x2-2x) x2-2x=t とおくと、①より y=t² +4t =(t+2)2-4 ここで,t=x2-2xより, ...2 t=(x-1)2-1 となるから、 xが実数全体を変化するとき, tの範囲は t≧-1 である. t≧-1 において② のグラフは右のようになるから, t=-1のときにy は最小となり, 最小値は, (-1)²+4(-1)=-3 文系 数学の必勝ポイント・ JURN 0 FX 1 -2-1 t=x2xのとき t≧-1である ことがグラフから分かる 2次関数 t=x2-2x yy=(t+2)²-4 置きかえの注意 置きかえをしたら, 新しい文字のとり得る範囲を確認する 0 -3 -4 解説講義 関数を扱うときに,置きかえはよく行われる操作である. 本間は置きかえをするときの注 意事項を確認する問題である. ②のグラフの頂点に注目して 「最小値は-4」 と間違えた人 はいないだろうか? HANDS yはxを変数として①の式で定められている. ①をそのまま扱おうとすると4次関数になっ てしまうので, x2-2xが2ヶ所にあることに注目し, x2-2x=t と置きかえてyをtの2次関 9 で勉強したように、 関数の最大最小 数として扱う.しかし, ここに落とし穴がある! は 「正しい範囲で正しい関数を分析」 しなければならない.tの2次関数として扱うのであ れば、「正しいもの範囲』で②の関数を分析する必要がある. 問題文にはすべての実数をとっ て変化すると書いてあるが,tのとり得る範囲は書かれていない. したがって, t=(x-1)²-1 と変形してものとり得る範囲が≧-1 であることを求めて, この範囲で ② の関数の最小値を 求めなければならない. 式を見やすくしたりするために安易に置きかえを行うと痛い目にあう. 「置きかえをした ら、新しい文字のとり得る範囲を確認する」ということをつねに注意するようにしよう. -t 19

223. このような記述でも問題ないですよね？ またこの問題での接線を求めるときのプロセス、 ①接線の座標を仮定して接戦の方程式を立てる ②接線が通る点の座標を代入 ③微分を用いて求める という順番で進むのは一般的ですか？？

演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1) 曲線C:y=x+3x2+x と点 A(1, a) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引 けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 [類 北海道教育大] 1970 基本 218 である。 る。 指針▷ 3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の 検討 参照) から, 曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける 針の① の 曲線C上の点 (t +3t'+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある そこで, 曲線C上の点(t, t3+3t+t) における接線の方程式を求め,これが点 (1,α) を 通ることから, f(t)=a の形の等式を導く。 ・・・・・・ CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別 解答 y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, 3+ 312+t)に おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(32+6t+1)(x-t すなわち y=(3t2+6t+1)x−2t−3t2 ばよい。 この接線が点 (1,α) を通るとすると -23+6t+1=α ... ① f(t)=-2t+6t+1とすると f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) f'(t)=0 とするとt=±1 f(t) の増減表は次のようになる。 -1 1 0 |極大 5 .... 0 + 極小 -3 7 - 5 t f'(t) -3 f(t) 3次関数のグラフでは,接点が異なると接線が異なるから, もの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか ら曲線Cに3本の接線が引ける。 したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる 条件を求めて -3<a<5 -1/0 +トー の解 1 y=a t - Ku y=f(t) 定数 αを分離。 f(-1)=2-6+1 = -3, f(1)=-2+6+1=5 ①の実数解は曲線 y=f(t) と直線y=α との 共有点の座標。 検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係 3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α, β (αキβ)で接すると仮定すると g(x)-(mx+n)=k(x-a)²(x-B)² (k=0) ←接点 重解 の形の等式が成り立つはずである。 ところが, この左辺は3次式, 右辺は4次式であり矛盾して いる。 よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。 the これに対して, 例えば4次関数のグラフでは、 異なる2点で接する直線がありうる (前ページの 61 3 関連発展問題 38

222. 3行目の恒等式が成り立つ理由は何なのでしょう？ また、この左辺は (mx+n)-x^3(x-4)でもいいのでしょうか？ どっちでどっちを引くかは決まっているのでしょうか？？ 最後に、「s,tはu^2-2u-2=0の解」とありますが u^2-2u-2=0はどこから出... 続きを読む

0 00000 演習 例題2224次関数のグラフと2点で接する直線 関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 [類 埼玉大] 基本199 指針▷次の①~③の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。3の考え方で解いてみよう。 ①点(t, f(t)) における接線が, y=f(x)のグラフと点 (s, f(s)) で接する。 (s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。 ③ y=f(x)のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=tの点で接するとして、 f(x)=mx+nが重解s, tをもつ。 → f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-t)^ 解答 y=x(x-4) のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=t (st) の点で接するとすると、次のxの恒等式が成り立つ。 x³(x-4)-(mx+n)=(x−s)²(x−t)² (左辺)=x^-4x-mx-n (右辺)={(x-s)(x-t)}'={x2-(s+t)x+st}2 =x4+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x-2(s+t)stx+2stx2 =x¹−2(s+t)x³+{(s+t)²+2st}x²−2(s+t)stx+s²t² 両辺の係数を比較して -4=-2(s+t) -m=-2(s+t)st ①から s+t=2 ③から m=-8 2JX ①, 0=(s+t)^2+2st ③, -n=s²t² ...... 4 これと②から ④から st=-2 n=-4 ②, ya NX 下の別解は、指針の①の考 え方によるものである。 10 <s≠t を確認する。 s, tu²-2u-2=0の解で,これを解くと u=1± √3 よって, y=x(x-4) のグラフとx=1-√3,x=1+√3の点 で接する直線があり, その方程式は y=-8x-4 別解y'′=4x-12x² であるから, 点 (t, t (t-4)) における接線の方程式は y-t³(t-4)=(4t³-12t²)(x-t) 5 y=(4t³-12t²)x-3t4+8t³ (*) x4-4x3=(4t3-12t2) x-3t+8t tと異なる重解をもつことである。 この直線がx=s (s≠t) の点でy=x(x-4) のグラフと接するための条件は, 方程式 (x-t)^{x^2+2(+-2)x+3t2-8t}=0 これを変形して よって, x2+2(-2)x+3t2-8t=0 Aの判別式をDとすると t2-2t-2=0 D=0 とすると このとき, Aの重解はs=-(t-2)=1+√3(複号同順) t=1±√3はピ-2t-2=0 を満たし 3+4+81³= -(t²-2t-2) (3t²-2t+2)−4=−4 D=(1-2)²-1·(31²-8t) = -2(t²—2t—2) これを解くと Aが, tと異なる重解 s をもてばよい。 t=1±√3 4t³-12t²=4(t²—2t-2)(t-1)-8=-8 ゆえに,(*) から よって, s≠tである。 y=-8x-4 SMA CH |√=3a おける すなわ この接 f( (t) Ot