18 2014 年度 数学
3. 四角形ABCD の異なる2つの頂点に玉が1個ずつ置かれている。以下の手順で玉を動か
す操作を1回の操作とし、 それを繰り返す。 ただし、 四角形の頂点は反時計回りにABCD
の順番で並んでいるとする。
1. 置かれている2個の玉から無作為に1個の玉を選択する。
2. 選択した玉の置かれた頂点に隣接する2つの頂点のうち,反時計回りの方向にある頂
点が他方の玉に占有されていない場合には確率pでその頂点に玉を進め、その頂点が
既に他方の玉に占有されている場合には玉は動かさない。
この操作により得られる玉の配置について、以下の問いに答えよ。
16.0
(1) 次の確率を求めよ。
(a)頂点AとCに玉が置かれているとき、1回の操作の後に2個の玉が隣り合う確率
-61 (a) THE A
(b)頂点AとCに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に玉の配置が変わらない
Uits
確率
(c) 頂点AとBに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に2個の玉が隣り合わない
確率
(d)頂点AとBに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に玉の配置が変わらない
確率
8
441
(2) 最初に頂点AとCに玉が置かれているとき, 7回 (n ≧1) の操作の後に2個の玉が
Jak
Take to
隣り合わない確率を Pi (n), 隣り合う確率をP2(n) とする。 Pi (n) および P2(n) を
Pi(n-1) と P2 (n-1) で表せ。
(3) 極限値 lim Pi(n) および lim P2(n) を求めよ。
n→∞
n→∞