数学IIIの問題です。どうしても⑵の答えを理解できません。V＝hの二乗になったのに求める時のV＝にはdt が入っています。なぜ入れるのでしょうか？教えてください。よろしくお願いします。

応用問題 429 放物線y=x2 上の点P(x, x2) から直線y=x に 垂線PHを下ろし, PH=h, OH=t とする。 (1) 0≦x≦1のとき, h, tをxの式で表せ。 (2) 放物線y=x2 と直線y=x で囲まれた部分が, 直線y=xの周りに1回転してできる回転体 の体積Vを求めよ。 YA H h y=x2 A P(x,x2) 1 y=x x 第7章 積分法とその応用

数学IIIです。hは求めることができたのですが、Tが求めることができませんでした。なぜその式になるのかわからないし√2はどこから出てきたのでしょうか？教えてください。お願いします。

とる と 48 応用問題 429 放物線y=x2 上の点P(x, x2) から直線y=xに 垂線PHを下ろし, PH=h, OH = t とする。 (1) 0≦x≦1のとき, h, tをxの式で表せ。 (2) 放物線 y=x2 と直線y=xで囲まれた部分が, 直線y=xの周りに1回転してできる回転体 の体積Vを求めよ。 H y=x2 x A P(x,x2) 1 y=x 第7章 積分法とその応用

数学Ⅲの積分法とその応用の問題です。写真の青マーカーを引いている問題の解き方を教えてください。お願いします。

■次の曲線や直線で囲まれた部分が, [ ]内の直線の周りに1回転してできる 回転体の体積Vを求めよ。 ただし, a,b は正の定数とする。 [464~467] [x軸] 464 (1) y=logx, x=0, y=0, y=-a [x軸] *(2) x2+y²-4y=0 2

積分法の応用です。問題の意味が理解できず、書き方がわかりません。できれば詳しく教えてください。

5 10 5 230 第7章 積分法とその応用 応用 例題 7 証明 関数f(x) 考え方 1 1 logn> + + + 2 3 4 では 常には x ここで すなわち よって x = 自然数んに対して,k≦x≦k+1 1 k+1 Jk k+1 k 自然数んに対して,k≦x≦k+1 では f(x) ≧f(k+1) であ る。 常にはf(x)=f(k+1) でないから, Sw"f(x)dx > Sh*f(k+1)dx が成り立つ。 1 の定積分を利用して,次の不等式を証明せよ。 x = •k+1dx Ck+11 Ck+1 1 Sn + + + + dx > Sh ² Sk + 1 Ok x 尺古1 t 1 k+1 1 + ただし, nは2以上の自然数 R でないから 1 k+1 n k=1, 2, 3, ....., n-1として, 辺々を加えると 2 S² dx +S² dx +S² dx x x x dx +・ .....+ dx xn-1 X n +=S" dx = [10g|x|]|₁ 1 X yA 1 k+1 O YA x=1/1/2+1/+1/1 > 3 y= log > 1/2+1/+1/+..+1 4 log|. = logn n 1 x |y=-1-- k 1 2 3 k+1 4 ·+· x 4x 1 n 6 1 10 ( 8 9

(2)を積の微分を用いないで教えてください...

264 第7章 積分法とその応用 標問 117 積分方程式 次の関係式をみたす整式f(x) を求めよ. (1) f(x)=1+((1-t)f(t)dt (2) √₁²f(t)dt = xf(x)+x²+x0²³ 未知の積分を含む等式を積分方程式 といいます. ○精講 積分方程式には、大まかに2つのタイプがあり, その解法には一定の手順があります。 Sf(t)dt を含むもの → Sof(t)dt=k (定数) とおく. Sf(t)dt を含むもの →xで微分する. 本問の(1),(2)がそれぞれのタイプに対応してい ます. (1) の積分の両端が定数タイプのものは,関 数が未知だから, 直接 Sof(t)dt の値を求めるこ とはできません. しかし, この値はなんらかの定 数となるので,それを適当な文字んでおきかえま す。 これに対して, (2)の積分の両端のうち少なくと も一方が変数のタイプは,微分して積分記号をは ずすことを考えます. その際, dif(t)dt = f(x) を使うので,定数項に関する情報が消えます . Sof(t)dt=0 などを利用して,これを補います. (1) 与えられた等式は 〈解答 ƒ(x)=1+xſ^ƒ(t) dt—S'tƒ(t) dt 解法のプロセス Sof(t)dt (東北学院大 ) (学習院大) 分方程式 定数んとおく (1) S(x-t)f(t) dt =ax-b La ↓ = xf²f(t) dt-Stf (t) at する (は積分記号の外に出す) (2) F(x)=f(t) dt [F'(x)=f(x) (F(1)=0 2121-130 xを積分記号の外に出す と変形できる. Sof(t)dt=a, Sotf(t)dt=6 とおくと f(x)=1+az-b=ax+(1-b) である. これより | a=S₁s (1)dt =[a+ ² + (1-6) ₁] = 2 +1 | b-Sir(t) at = a + (1-6). ] = + +1-6 2 (a+26=2 l2a-96=-3 12 6 よって, f(x)=1/3x+- 13 (2) 両辺をxで微分して 12 13' f(x)={f(x)+xf'(x)}+2x+3x2 .. xf'(x)+2x+3.²=0 (f'(x)+2+3x) = 0 任意のxに対してこの等式が成り立つことから f'(x)=-3.x-2 与えられた式でx=1 とおくと f(1)+2=0 ... f(1)=-2 ゆえに (4) 3 :. f(x)=2x²-2x+C (CH) 3 2-2+C=-2 3 3 よって、f(x)=12/22-2x+1/2 b= 7 13 0531 265 2 演習問題 (117 (1) f(x)=2x+120'f(x)dz (2) f(x)=x-2f\f(t)\dt (3)_ƒ(x)=x³+x²+S²_₁₂(x− t)²ƒ (t) dt 積の微分 (数学ⅢI) {f(r)g(x)} =f'(r) g(x)+f(x) g' (x) 10 ◆積分 Sff(t)dt を消すために, m=1 とおく 次の関係式をみたす整式f(x), g(x) を求めよ. f(x)=1+S*g(t)dt, g(x)=x(x−1)+Sª,f(t)}dt 岡山理大) (秋田大) (島根大) (慶大)

第2式とはどれの事でしょうか... 教えてください🙏

120 放物線と接線で囲まれた図形の面積 ひき,その接点をそれぞれQ(a, a2), R(B, B2) (a <B) とする. 座標平面上の曲線 C1:y=x2 に点P(X, Y)(Y<X2) から2本の接線を + (1) X, Y を α, β で表せ. (2) 線分 QR と C とで囲まれる部分の面積を S1, 2つの接線と1とで囲ま れる部分の面積をS2 とするとき, S: Sz を求めよ. 178.200 (3) 点Pがある曲線 C2上を動くとき, つねに S2 = であるという.この 2 とき, 曲線 C2 の方程式を求めよ. (*山形大, *東京理大, "熊本女大) 接線の方程式は 接点とその点における微分係数 精講 により決まります。 (1)2 接線の交点が P(X,Y) です. (2)直線と放物線の位置関係(上下の関係)を おさえながら,式をたてます.このとき、 接点 Q, Rのx座標はそれぞれα, β なので, S₁=-(x-a)(x-B) dx といった変形が可能です. 解法のプロセス α+β a‡B v² X=a+B 2 接線の方程式は まず、 接点を決める ↓ 面積 S, S2を ①に代入し Y=2μ• 2 解答 (1) 点Q(α, α2) における接線の方程式は y=2x(x-a)+α² :: y=2ax-a² ......1 同じく, 点R(B, B2) における接線の方程式は y=2x-β2 ·② β-a で表す S: S2 を求める P(X,Y) は1, m の交点ゆえ, ①,②を連立して 2aX-α²=2BX-B2 .. 2(a-B)X=a²-8² ...... ③ a+B_ -a²=aß C 11

下線部の変形が分かりません...詳しく教えてください🙏

3 (1) f(x)=2x(2-x) 3 x s-S₁f(x) dx = ³ [2²-²-1 2 =1 3 = n-1 k 3.1 k -- Σ √ ( 4 ) · ²2 - 2 + 1 - 2 / ² (²-4) ● Sn=" k = 2 k=0 n n k=0 n = ² <. とおく。で n-1 3 2nd (2nk-k²) 2n³ k=0 答 23³ (2n. (n=1)n_ (n-1)n(2n-1) ²-1)} 2 こと 6 4n²-3n-1 4n² よって, S-Sn=1- 4n²-3n-1_3n+1 4n² L 4n²

次の定積分を求めよという問題です。どなたか解き方を教えてください🙏よろしくお願いします

2ル sin40 cos2 0 oda とうやって積分した F1ですか?

数学IIIの積分です。青いところがわかりません。どなたか教えてください！お願いします！

116)放物線 y=x°-4 と直線 y=3x で囲まれた部分が, x軸の周りに 第7章 積分法とその応用 ●● 115 例題 放物線 y=x*ー4 と直線 y=3x で囲まれた部分が, x軸の周りに 1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。 解答 x-4=3x を解くと ー(x°-4)=3x を x>0 の範囲で解くと 回転体は,図の斜線部分をx軸の周りに1回転すると得られる。 x=-1, 4 x=1 したがって,求める体積は V=z\{-(x°-4)}?dx+\ (3x)?dx -1 *0 *4 -(-3x)°dx- (x-4) dx -1 2 =2x-+16x 一ar.- 5 8 -x+16x +π 3x 3 =2π 5 Jr .5 8 -x+16x 3 O1/24 ール 5 406 ーπ+189元-3元ー 15 1216 ーπ=132π 答 15 ニ

一対一対応の数学Ⅱの問題の写真2枚目の？の部分が理解できないので教えて下さい！

これが 66 なので, 9+a=11 . a=2 ある。 の象 41 と O1 演習題(解答は p.152) どちらも偶関数· 奇関数 の性質を用いるとよい。 (ア)は被積分関数を展開。 (イ)はf(x)の条件を処 理し, 1 (ア)か,qを定数とする.定積分」(2°+加-9)°dzは, か= q= で最 小値をとる。 (イ)原点を通り,そこでの接線の傾きが-3である3次関数f(x)のうちで任意の2 (成隣大·理工) 次関数g(z)に対して, つねに「(x)g(x)de=0 となるものはず(z)=■コで g(z)= pr?+ qz+rと おいて積分値をp, q, r について整理する。 ある。 (昭和薬大) 138