ABS + AC
する。
=0
H
考 内心,垂心,外心の位置ベクトルイ
ME TA
1:30
例題25, 26, 28 では,辺の長さが与えられた場合の三角形の垂心,内心,外心の位置ベク
とき,,,
トルについて扱ったが, ここでは,これらの位置ベクトルが, A (a), B(b), C (C) である
どのように表されるかを説明しよう。
以下、△ABC に対し, A (d), B(),C(),BC=a, CA=b, AB=cとする。
三角形の内心の位置ベクトル
△ABCの内心を( ) とし,∠Aの二等分線と辺BC の交点
をDとすると
BD: DC=AB:AC=c: b
よって
ゆえに
AD=
ca
また
BD=
b+c
B の二等分線と線分 AD の交点がⅠであるから
AI: ID=BA : BD=c:
よって
Ai=
BAB + CAC
c+b
C
b+c
したがって=d+
•a=
b+c
(b+c)+a
-AD=
ca
b+c
MOTO-AOP B
=(b+c): a
b+c
a+b+c
b
attAB+ a+b+cAC
a+b+c
i-a=a+b+c(6-ä)+a+b+c(c-à)
三角形の外心の位置ベクトル
△ABCの外心をO ( ) とすると
BAB + CAC
b+c
17+56 CES
ħ = (tan A)ā+(tan B)¯+(tan C)ć
tan A+tan B+tan C
-20
b-ba+cc-ca_aa+b+cc02>VOR>
a+b+c
D
44800)-11
"SORRS (*) $ 8S HR
MAO
D
(sin 2A)ã+(sin 2B)+(sin 2C)
sin 2A+sin 2B+sin 2C
a+b+c
心,外心の位置ベクトルについては,それぞれ次のように表される。 これらの結果が導
かれる過程は, 解答編 p.314, p.315 参照。
三角形の重心の位置ベクトル
△ABCの垂心をH ( ) とすると
ÃO
B
2C
H
B'
-57-BA 2-15A A
C
2A
2B
14 位置ベクトル、ベクトルと図形
1章