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数学 高校生

この問題の方針を簡単に説明してくださる方いませんか??

390 要 例題 28 格子点の個 DO 座標がともに整数で 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y) ある点)の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。 (1)x2,y2, x+2y≦2n CHART & SOLUTION 格子点の個数 (2) x≥0, y≤n², y=x² 直線xk または y=k上の格子点を求め加える 「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。 n=2のとき 具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。 n=3 のとき (1) n=1のとき y y y4 x+2y=2.1 x+2y=2.3. x+2y=2.2 3 13-20 UC29 -1 -10 1 2 0123456 n=1のとき 1+3=4, n=2のとき 1+3+5=9, n=3 のとき 1+3+5+7=16 一般 (n) の場合については, 境界の直線の方程式 x+2y=2n から x=2n-2y よって, 直線 y=k (k=n, n-1,..., 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶから、 (2n-2k+1)において, k = 0, 1, ……, (2) n=1のとき nとおいたものの総和が求める個数となる。 n=3のとき -y n=2のとき y=x2 -yA y=x2+ y F(St 9 [ホ y=x2 I -1 0 x n=1のとき n=2のとき n=3 のとき 一般 (n) の場合については、直線x=k (k=0, 1, 2, x 4コ 0 ( + . + (1−0+1)+(1-1+1)=3, -4 (S)-1- . + 2- 3- x (4-0+1)+(4−1+1)+(4-4+1)=10, (9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26 -0 の美 ものの総和が求める個数となる。 1個の格子点が並ぶから,(n-k+1)において,k= 0, 1, -1,n)上には nとおいた また,次のような図形の対称性などを利用した別解も考えられる。 解三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。 (1)の (2)の別解 長方形上の格子点の個数から、 領域外の個数を引いたものと考える。 このとき、対角線上の格子点の個数を考慮する。 解

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(1)と(2)で解法が異なりますが、(2)を(1)の方法で解くことは出来ないのでしょうか?教えて頂きたいです。

総合 (1) 不等式 y≧(logzx) を満たす点(x, y) 全体の集合を、その境界と座標軸との交点の座標も 26 書き入れて、座標平面上に図示せよ。 (2) 集合 S={10gzxxは (10gzx)^100x2 を満たす実数} に属する最大の整数を求めよ。 慶応大 本冊数学Ⅱ例題 185 (1) y2≧ (10gzx)2 から ゆえに (y+logzx)(y-logzx0 y+logzx≧0 y-logzx0 y+log2x≤0 または よって または y-logzx0 y-logzx y≥log2x y≤-log2x ←PQO ポイントは2乗!! ⇔ (P≧0 かつ Q≧0) 10gをかけても意味が または な・・・ (P≦0 かつ Q≦0) YAE y=log2x 合計 y≤log2x よって, 求める集合は, 右の図の斜線 部分である。ただし、 境界線を含む。 (2) 10gzx=n (n は整数) とおくと (10gzx100x2から n2>100.22n . x=2n ① (1092x)= 10gzx ③510g x y=-log2x 10032 -10270 172010 10・2"=10・(1+1)"=10("Co+"C1+......+nCz)= これではとけないので 他の形をさがす ←100・22"=102•(2")2 (1 ←(1+1)" =nCo+nC1+......+nCn [1] n>0のとき n>10.2 一方, nは自然数であるから 710g2つ 10 (Co+C2)=10(1+n)>n よって, ① を満たす整数 n は存在しない。 IL > CROS [2] n≦0 のとき n<-10.2n ② 01-8202) ここで, 関数 y=-10・2" は減少関数であり,nの値が増加す ると-10.2" の値は減少する。 y=-10-2" n=-3のとき -10・2=>-3 5 4 5 of- n=-2のとき -10-2-2-- <-2 yy=n/ -3-2 A 0 n -25 5-4 2 よって, -3以下の整数nは②を満たす。 [1], [2] から, 求める最大の整数は -3 (本冊 p.19 基本例題5 (2) 参照。) -52

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(2)でなぜ[1][2]のような場合分けをするという発想になるのかわからないです。教えて頂きたいです。

総合 次の問いに答えよ。 ただし, 0.3010 <logo2<0.3011 であることは用いてよい。 28 (1) 100 桁以下の自然数で, 2以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 (2) 100桁の自然数で, 2と5以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 (1) 2"<1010 を満たす0以上の整数nの個数を求める。 2"<10' の両辺の常用対数をとると log102" <log1010100 すなわち nlog102 <100 [京都] 本冊数学II 例題 189 ←k桁の自然数N 10-1≤N<10% ⇔k-1≦log10N <k ゆえに n< 100 log102 ① 0.3010 <log102 < 0.3011 から 100 0.3011 100 10g102 100 0.3010 0.3011 logio2 0.3010 100 0.3011 =332.1..., 100 0.3010 =332.2・・・ であるから, 100 ←332.1 < <332.3 log102 0≦x≦332 の範囲の整数n は不等式① を満たす。 その個数を求めると 332-0+1=333 (個) (2) 100桁の自然数で,2と5以外の素因数をもたないものの個 数は, 10% ≤ 2"5" 10100 ② を満たす 0 以上の整数 m, n の組 (m, n) の個数である。 [1] m≧n のとき n≧100 とすると, m≧100であるが,このとき, 252100.5100 となり, 25"<10100 を満たさない。 n=0, 1, 2, …………., 99 ゆえに ②の両辺を10" で割ると 1099-n≦2m-n<10100-n ←2510100 から, 101 桁以上。 ③ を満たす (m, n) の組の個数は, (100-n) 桁の自然数で, ←(1)の結果を利用する 2以外の素因数をもたないものの個数を表している。 n=0, 1, 2,..., 99 であるから, ③を満たす (m, n) の組 の個数は,100 桁以下の自然数で, 2以外の素因数をもたない ものの個数と同じである。 その個数は, (1) から 333個 [2] m≦nのとき [1] と同様に考えて、②の両辺を10m で割ると 考察にもち込む。 ただし 1099-m≦5n-m10100-m ④ m=0, 1, 2,......, 99 ④ を満たす (m, n) の組の個数は, 100 桁以下の自然数で, 5 以外の素因数をもたないものの個数, すなわち, 5'10100 を 満たす0以上の整数の個数と同じである。 5'101 の両辺の常用対数をとると 10g105′ <log1010100 ゆえに よって (1-10g102) <100 100 1-10g 10 2 (5) 0.3010 <log102 < 0.3011 であるから, ←m100 とすると, n≧100 で, 2"5"≧21005100=10100 となり,不適。 102 ←log105=10g10 =1-10g102 1-0.3011 <1-log102 <1-0.3010 より

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微分に着いてです。総合問題30の方で質問があるのですが、類題では(画像3枚目)x=0になる場合も考えているのにこの問題では考えていないのはなぜですか...?教えて頂きたいです。

用いて表す。 総合 実数a, b に対し, 関数f(x)=x^+2ax3+(a2+1)x2-a3+α+bがただ1つの極値をもち, その 30 極値が0以上になるとき, a, b の満たす条件を求めよ。 f'(x)=4x3+6ax2+2(a2+1)x=2x(2x2+3ax+a2+1) [類 横浜国大] 本冊 数学Ⅱ 例題 218 まず、微分する。 f'(x) =0 とすると x=0, 2x2+3ax+a2+1=0 xの2次方程式 2x2+3ax+a2+1=0 ...... ①の判別式をDと ←① の実数解の個数が するとD=(3a)2-4・2・(a+1)=α²-8=(a+2√2) (α-2√2) X [1] D>0 すなわち a< 2√22√2 <a のとき カギとなる。それはD の符号によって変わって くるから,D>0,D=0, α+1>0より,x=0は①の解ではないから,①はx=0以D<0 に分ける。 外の異なる2つの実数解をもつ。 ゆえに、f'(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。 この3つの解をα, B, y (a<B<y) とすると, f (x) の増減 x 表は次のようになる。 10 a B r ... ←本冊 p.347 の 参考 参 0 +0 0 + 照。 極大 \ 極小 > f'(x) f(x) 極小 よって, f(x) は極値を3つもつから、不適。 ◯[2] D0 すなわち a=±2√2 のとき ①は重解 x=- 2-2 3 3a == -α をもち 2x2+3ax+a2+1≧0 4 3 ←等号はx=- aのと き成り立つ。 (i) a=2√2のとき 3√√2 f'(x) = 0 は x=0, を解にもつから, 3√√2 XC 0 2 -2 f(x) の増減表は右のようになる。 f'(x) - 20 + 0 + よって, f(x) は x=0で極小となり, 極値0- を1つだけもつから,適する。 f(x) 極小 f √(3√2) (ii) a=2√2のとき f'(x)=0 は x=- 3√√2 2 0を解にもつか 3√√2 XC 0 ら,f(x) の増減表は右のようになる。 2 値を1つだけもつから,適する。 よって, f(x) は x=0で極小となり,極 f'(x) - 0 f(x) (3√2 2 20 ▼ 極小 > : +

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微分の問題です。(3)で私は軸を調べずにD≧0の式を立ててしまったのですが、なぜ軸を調べる必要があるのかわからないです。教えて頂きたいです。

総合 AB=x, AD=y, AE=zである直方体 ABCDEFGH が空間内にある。 直方体の対角線 AG 31 の長さを3, 表面積Sを16とするとき (1)x+y+zの値を求めよ。 (2) y+zyz をxの式で表し, xを用いて y, z を解とするtの2次方程式を作れ。 (3) xの値のとりうる範囲を求めよ。 [類 長崎大] (4) この直方体の体積をVとするとき, Vの最大値および最小値を求めよ。 また、そのときの xの値を求めよ。 (1) AG=3から x2+y2+22=9 直方体の表面積が16であるから ←関係式を立てる (x+y+z)2=(x2+y2+22)+2(xy+y+zx)200+ ( 2xy+2yz+2zx=16 よって xy+yz+zx=8 ① ゆえに =9+2・8=25 x+y+z > 0 であるから Bago x+y+z=5 ② (2)②から y+z=-x+5 よって, ① から 本冊 数学Ⅱ例題 69,230 A -N--- D B G E yz=8-x(y+z)=8-x(-x+5)=x-5x+8 ...... ③ ③ia ゆえに,y,zを解とするtの2次方程式の1つは'nfeine t2+(x-5)t+x²-5x+8=0 (3)x2+y2+z2=9から so 0<x<3, 0<y<3, 0<z<3 h(t)=t2+(x-5)t+x2-5x+8とし, tの2次方程式h(t) = 0 が 0 <t<3の範囲に実数解をもつ条件を調べる。 ←2-(和)+(積)=0 これぞ 調べずにやると...? Y=h(t) のグラフは直線t=- x-5 を軸とする下に凸の放物 Y=h(t) 2 線で0<x<3のとき1<-x515から0<x<3 2 2 2 5 2 + 7 0 3 また h(0)=x2-5x+8=(x- + ->0, 2 4 5-% 2 h(3)=x²-2x+2=(x-1)^+1>0 よって, 2次方程式h(t)=0が0<t<3の範囲に解をもつ条件 は, h(t) =0の判別式Dについて ここで D≧0 D=(x-5)2-4・1・(x2-5x+8)=-3x2+10x-7 ←y=z すなわち (t)=0が重解の場合も ある。 =-(x-1)(3x-7) 総合

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