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をを自然数とする。 2* を7で割った余りが4であるとき,kを3で割った余りに
重要 例題7 整数の問題への二項定理の利用
【類千葉大)
重要6
指針> 2*=71+4 (1は自然数)とおいてもうまくいかない。ここでは,
kが 3g, 3q+1, 3q+2 -3で割った余りが0, 1, 2
Qはんを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し,k=3q+2 の場合
け 2*を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば、k=3qのときは, 2*=2"=8°であり, 89=(7+1)として 二項定理 を利用する。
2であることを示せ。
2*を7で割ったときの余りを求めることができる。
解答
43で割った余りは0か1
2である。
をを3で割った商をqとすると,kは 3g, 3q+1, 3q+2
のいずれかで表される。
[1] k=3qのとき, q21であるから
ら
k=3, 6, 9,
2*=29=(2)°=89=(7+1)°
=Co7°+,C.79-1+………+,Cq-1'7+g Cg
=7(Co7-1+.C.79-2土 +.Co-1)+1
イ二項定理
は整数で、