回答の[2]a=-3のときについてですが、 なぜ3点が重なっているのに「放物線と円が1点で接する場合」になるのですか？？

重要 104 放物線y=x2+αと円x+y2=9について, (1)この放物線と円が接するとき,定数αの値 (2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 共有点 実数解 接点重解 で考えればよい。 この問題では,xを消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の 実数解, 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1) 放物線と円が 接するとは,円と放物線が共通の接線をも つことである。この問題では,右の図のように, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす αの値の範囲を見極める。 (1) y=x+αから (y-a)+y=9 1点で 接する 2点で接する xを消去すると,yの2 次方程式が導かれる。 ゆえに3≦y≦3. ② [2] a=-3 4 a=3 a=-37 [1] 2 YA 3 A 3 3- WA 基本9 PRON D 1418-1 とき したがって と円が 1つの実数を put. NO (1) の式を よって、+370 ついて 3g 30から x 13. X -30 (-3)=-3-a>0 /3 -3 -3| の共通範囲を求め x2=y-a これをx+y=9に代入して 解答 よって y2+y-a-9=0 ① ここで,x2+y2=9から [1] 放物線と円が2点 で接する場合 x2=9-y20 2次方程式 ① は②の 範囲にある重解をもつ。 よって、 ①の判別式を -3 13 0 -3 Dとすると D=0 D=1²−4·1·(—a—9) 37 4 =4a+37 37 であるから このとき, ①の解は y=- となり,②を満たす。 4a+370 すなわち α = - + 4 2次方程式 2 [2] 放物線と円が1点で接する場合 図から, 点 (03) (03)で接する場合で a=±3 以上から、 求めるαの値は 37 a=- ±3 4 by2+qy+r=0 の 重解は y=- 2p 頂点のy座標に注 20共有点を考え であるから、右の と直線2gが援 データとして、 -3

1の場合だけ，判別式を使える理由を教えてください

重要 例題 104 物 放物線y=x2+αと円x2+y^2=9について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するとき,定数αの値 (2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 の 0000 指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 共有点 実数解 接点⇔重解 で考えればよい。 解答 x2=y-a これをx2+y2=9に代入して よって y2+y-a-9=0 ...... ここで,x2+y2=9から [1] 放物線と円が2点 で接する場合 37 この問題では,xを消去して, yの2次方程式(y-a)+y2=9の 実数解 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1) 放物線と円が 接する とは,円と放物線が共通の接線をも つことである。この問題では, 右の図のように, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす。 αの値の範囲を見極める。 (1)y=x2+α から 1点で 接する 2点で接する 消去すると、yの (y-a)+y2=9+2次方程式が導かれる。 ① x²=9-y²≥000 -3≤y≤3 ****** [1] a=- 4 [2] a=-3 a=3 y 2次方程式 ①②の 範囲にある重解をもつ。 よって, ① の判別式を Dとすると D=0 3 3 3- -3 13 O 0 x -3 13 x -3 0 -3 D=12-4.1 (-a-9) 37 =4a+37 であるから =37 a=- このとき、①の解は y=- [2] 放物線と円が1点で接する場合 以上から 図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合 4a+37=0 すなわち -12となり、②を満たす。 2次方程式 py2+gy+r=0 解け 37 4

(１)についてで、Xを消去する時消去する文字Xについての範囲だけを考慮すれば良いと思っていました。しかしこの問題で、Xを消すとyの範囲も消えてしまったのですが、消す以外の文字の範囲についても引き継ぎを気にする必要があるのですか？解答よろしくお願いします。

XX 例題 267 面積[7] ･･･円と放物線で囲まれた部分 ★★★☆ 放物線y=x2. ① と円 x+(y-α)2 = 1 ... ② は異なる2点で接する。 (1) 定数α の値を求めよ。 (2)②の外側で,放物線①と円 ②で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (1)円と放物線が接する条件は, 例題 111 参照。 思考プロセス y (2) SS(ロロ)dxとしたいが, 円 ②はy=±√1-x+α となり,積分計算できない。 見方を変える A A Q PQ P Q P Q Action» 円と曲線で囲まれた部分の面積は,まず中心角を求めよ y+(y-α)2=1 例題 111 よって y2-(2a-1)y+α°-1 = 0 ... (3) 解 (1) ① ② より, xを消去すると 今回 ①と②が異なる2点で接するのは,③が正の重解をも つときである。 3 ③の判別式をDとすると D=0 P197 D={-(2a-1)}-4(α-1)= -4a +5 次数が低くなるようにx を消去する。 yを消去し て考えることもできる。 例題 111 〔別解 1)参照。 SID=0 かつ f(y) = y2-(2a-1)y+d-1 の軸の直線 54 れる 5 -4+5 = 0 より a = 4 3 9 このとき ③は v+ = 0 と 2 16 3 これは正の重解y= をもつから a= 4 3 (2) y= 4 ①に代入すると 3 x=± 2 ないよって、接点P,Qの座標は y 2a-1 y = > 0 から 2 αの値の範囲を求めても よい。 実際に 「正の」重解に なることを確かめる 181 √3 3 しな 2 √3 3 2 4 2 3 4 5-4 A 4 A √√3 3 S = 4 あり、②の中心をAとすると ∠PAQ = 120° したがって, 求める面積Sは x²)dx-(7.12. 60°- P √3 32 2 √3 x 2 ∠PAO=60° より ∠PAQ = 120° P 120° 1 Q · 1². sin 120° 360° 2 ① ② √3 π /3 2 3√3 π 3 4 4 ■267 放物線y = x2 ・・・ ①と円x2+(y-2 (1) 定数αの値を 1 2点で接する。

D＝０としたときは2つの与式が接する場合だとはわかりますが、これで(0,3)で接するのはなぜ含まれていないのでしょうか

164 重要 104 放物線と円の共有点接点 放物線y=x+αと円x+y=9について、次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するとき、 定数αの値 (2)異なる4個の交点をもつような定数の値の範囲 指針 放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針 接点 共有点実数解 で考えればよい。 この問題では、xを消去して、yの2次方程式(yu)+データの 実数解解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1)放物線と円が接するとは、円と放物線が共通の接線をも つことである。この問題では、右の図のように、2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2)放物線を上下に動かし、(1)の結果も利用して条件を満たす の値の範囲を見極める。 0001 147 接する 2点です xを消去すると、 (1) y=x'+α から x=y-a 解答 これをx+y=9に代入して よって y²+y-a-9=0 ここで,x2+y=9から (y-a)+y2=9 次方程式が導かれる。 ① x2=9-20 ゆえに -3≤y≤3 [1] 放物線と円が2点 [1] で接する場合 D [2] a=-3 34 2次方程式 ①は②の 3 3 3- 範囲にある重解をもつ。3 よって、 ①の判別式を 13 0 0 AM -3 13 -30 Dとすると D=0 D=12-4-1-(-a-9) =4a+37 37 であるから 4+370 すなわち a=― 4 このとき、①の解はy=- 12となり、②を満たす。 2次方程式 by² +qy+r=00 [2] 放物線と円が1点で接する場合 重解はya- 図から, 点 (0.3), (0, -3) で接する場合で α=±3 以上から、求めるαの値は a1- (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,右の図から、 頂点の座標に 34 37 ±3 4 放物線の頂点 (0, 4)が,点 (0.2) から点 (0-3) を結ぶ線分上 (端点を除く)にあるときである。 したがって -37 <a<-3 4

解説お願いします。 ∠OKA=45°はどうして分かるのですか？ 教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。

9.05391 (0 <) 1 08 82.円C:x2+(y-3)2=2 と放物線 P:y=-xについて,次の問に答え . ただし, 0 <r<3 である. 4 (1) rの値を求めよ. 円Cと放物線Pの共有点が2個のとき, (1)の共有点を A, B とするとき, 線分ABの下側で,(1)で求めた円C と放物線Pとで囲まれる図形の面積を求めよ. GAU (福岡大)

左下の青チャートの問題の、(１)について質問があります。 もし右の写真のように放物線の開き具合が極端に大きかった場合、円と放物線の接し方として、チャートの解説の(１)の[1]のようなものは無いのかなと思うのですが、この時に重解を計算しようとするとどうなるのか、また、右の写真... 続きを読む

0000 重要 例題 104 放物線と円の共有点・接点 放物線 y=x2+α と円x+y2=9について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するとき, 定数 αの値 (2)異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 接点 重解 共有点 実数解 で考えればよい。 この問題では,xを消去して, yの2次方程式(y-a)+y'=9の 実数解,重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1) 放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも つことである。この問題では, 右の図のように, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし、 (1) の結果も利用して条件を満たす αの値の範囲を見極める。 い点で \接する -34p 定まる。り 2点で接する xを消去すると 次方程式が導かれる。 3y3... =3 (2)の したが (g) 放物 る27 よっ なお、 [1] ya [2] 3- [3] (1) y=x2+α から x2=y-a 解答 これをx2+y2=9に代入して の実 1 f の解り よって y2+y-a-9=0 ...... ① ここで,x'+y2=9から (y-a)+y2=9 x2=9-20 ゆえに [2] a=-3 [1] 放物線と円が2点 [1] で接する場合 2次方程式 ① は②の 範囲にある重解をもつ。 よって、 ①の判別式を みが 重をもてばよい の交点 Dとすると D=0 D=12-4・1・(-a-9) 37 4 =4a+37 であるから 4a+37=0 すなわち 37 a=- 4 13 の異なる方の実 あり (×) 2~ ①から ゆえに、L のグラフと M2 [2] 放物線と円が1点で接する場合 以上から、 求めるαの値は 図から,点 (0,3), (0, -3) で接する場合で a=±3 このとき、①の解は y=-- となり、②を満たす。 2次方程式 py2+gy+r=00 重解は y=-1 a1- 37 4 頂点の座標に注意 ±3 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,右の図から, 37 放物線の頂点 (0, α)が,点(0, -3)から点(0, -3) を結ぶ線分上(端点を除く)にあるときである。 したがって _37 <a<-3 4 -3- 2=gly がリニ (2)200 なる2つ (2)

解説お願いします。 写真の黄色マーカー部分についてです。 y=0以外に解が存在するのがよく分かりません。 図を見ても解はy=0だけのように見えます。 黄色マーカー部分はどこの解のことを指しているのか教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

国 111円に接する放物線 放物線y= ★★★☆ =1/2x1と円+(-a)=(a>0, r>0)②につ いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め, r をαの式で表せ。 (1) 放物線 ①と円 ②が原点0で接し, かつほかに共有点をもたない (2) 放物線 ①と円 ②が異なる2点で接する。 xについての4次方程式(別解1) 820 >0の解は を消去 1, 2 次数が高い を連立 yについての2次方程式(本解 ) xを消去 次数が低い 共有点2つに対応 対応を考える」 解は共有点のy座標を表す。 y=0の解は 図形は y 軸対称であり, 解と共有点 接点1つに対応 y▲ 思考プロセス の対応は右の図のようになる。 条件の言い換え についての2次方程式が (1)y≧0において,解が y=0 のみ (2)y>0において, 重解をもつ x Action» 円と放物線の共有点は、連立して×を消去せよ 円 解 ①より, x=2y でありy≧0 6 x ② に代入すると 2y+(y-a)2=re xを消去する。 y2+2(1-a)y + (d2-r2) = 0 ③3 (1) 題意を満たすのは, ③が y = 0 を解にもち, y> 0 の範囲に解を y = 0 しか解はない。 もたないときである。 共有点が原点のみである から, y ≧0 においては, また,このとき, グラフ の対称性から, 原点で接 するといえる。 y = 0 が解であるから, a-r2 = 0 a>0, r>0であるから r=a このとき,③は y2+2(1-α)y=0 y{y+2(1-a)}= 0 よって, ③のy = 0 以外の解は y=2(α-1) 2(4-1)≦0 より 0<a≤1 したがって 0<a≦1,r = a ① 2 (α-1) が正であっては いけない。 2(4-1)=0のときも含 まれることに注意する。

どこが違うか教えてくださいお願いします

Si (x+1)dx =2{2×(4)+- =2/ B F + 3万 な ) 今 2 7x12 ~~ (x + + (x = -] 2

まるで囲んである部分の計算は奇関数と偶関数のを使って4分の３は消して−xの2乗を積分はできないのですか？教えてください

基本 253 放 放物線L:y=x2 と点R0, を中心とする円 C が異なる2点で接するとき (1)2つの接点の座標を求めよ。 (2)2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧とLとで囲まれる図形の面積の を求めよ。 [類 西南学院大] が,ここでは微分法を利用して,次のように考えてみよう。 で考えた 指針 (1)円と放物線が接する条件をp.164 重要例題 104 では 接点重解 (2)円が関係してくる図形の面積を求める問題では,扇形の面積を利用することを LとCが点P で接する点Pで接線 l を共有する RP⊥l 考えるとよい。 半径が, 中心角が 0 (ラジアン) の扇形の面積は1 (1) y=x2 から y=2x 解答 の共通の接線をl とすると, lの傾きは LとCの接点Pのx座標をt(t≠0) とし,この点で 2t 5 +2- 4 4t2-5 点Rと点Pを通る直線の傾きは t-0 4t 4t2-5 3 0 RP⊥l から 2t･･ =-1 ゆえにt= 4t 4 √3 よってt=± 2 ゆえに、接点の座標は(1)( y 3-4 (2) 右図のように, 接点 A, B と点Cを定めると, RC: AC=1:√3から 5 ORA-1. RA=2-(2-2)-1 ∠ORA= 4 4 Lと直線AB で囲まれた部分の面積をSとすると S=SARBA (扇形 RBA) -- 1.1.sin 7-1.1.7 3 dx+ 2 √3 3 2 π --5(x+3)(x-4)+z 2 Fπ --(-1)√(√3)+ √33√3% - = 2 4 3105 24R BY 3 2 B π A B 4 0 練習 253 放物線 C:y=1/2x上に点P(1.212) をとる。x軸上に中心をもち点 線に接する円とx軸との交点のうち原点に近い方をBとするとき、円弧 方)と放物線 Cおよびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 [類県 p

1番最初を含め、全体的にわからないです、、😭 細かい補足などを教えて欲しいです。

重要 例 放物線y=x+αと円 x+y=9 について、次のものを求めよ。」 (1)この放物線と円が接するとき、 定数αの値 円の (2)異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 接点 重解 指針 放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針 共有点実数解 で考えればよい。 この問題では,x を消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の 実数解 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1)放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも 一つことである。 この問題では, 右の図のように, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす αの値の範囲を見極める。 (1) y=x2+α から (y-a)+y2=9 000 1点で <接する 2点で接する また、 ま y= 定ま 定1 (1) (2) xを消去すると、 次方程式が導かれる。 x2=9-y2≧0でゆえに -3≦y≦3...... ② [2] a=-30+ x2=y-a 解答 これをx2+y2=9に代入して よって y2+y-a-9=0 ① ここで,x2+y2=9から [1] 放物線と円が2点 で接する場合 37 [1] a=- 4 YA YA 2次方程式 ①②の 範囲にある重解をもつ。 よって、 ①の判別式を Dとすると D=0 3 3 -3 13 O 3- 0 -3 /3 3 37 a=3 D=12-4.1 (-a-9) =4a+37 37 であるから 4a+37=0 すなわち α- 4 1 このとき、①の解は y = 2 == となり,②を満たす。 [2] 放物線と円が1点で接する場合 図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合で α=±3 37 以上から、 求めるαの値は a=- ±3 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは、右の図から、 2次方程式 by2+qy+r=0の 重解は y=-1 2p 頂点のy座標に注目。 [参考 ゆえ のグ g(y) (1) 榎 D 放物線の頂点 (0, a)が,点 (0,-27) から点 (0-3)! 37 (2) 3 -3 を結ぶ線分上(端点を除く)にあるときである。 37 したがって - <a<-3 練習 [③] 10[4]