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頂点下の
自然の
思考プロセス
求める2次関数を y=ax2+bx+c とおく。
条件の言い換え
条件はないから一般形でおく
直線 y=2x-1と)
x=1で接する
=ax2+bx+c
=2x-1
を連立すると, α(x-1)=0 の形になる。
8308
5
求める放物線の方程式を
701
よって
a=4
y=ax2+bx+c (40)
これを①に代入して
とおくと, 直線 y=2x-1 に x=1で接するから
方程式 ax2+bx+c=2x-1は重解 x1 をもつ。
よって
y = 4
(x-1)+(2x-1)
14=
4
5 (x²-2x+1)+(2x-1) 小
ax+bx+c-(2x-1)=a(x-1)2
1
1
となるから
=
·x+
4
2
4 da
y=ax2+bx+c
=α(x-1)+(2x-1)
したがって, 求める放物線の方程式は
... D
1
y=
大量
と表せる。 これが, 点 (1,2)を通るから
2=α(-1-1)+(-2-1)
4
1で最小
最大とな
(1)
条件の言い換え
思考のプロセス
24 [放物線がx軸から切り取る線分 ]
①がx軸と異なる2点で交わる
xy=0 とした方程式の (判別式)>0
( ①の頂点のy座標) > 0
>8 2007
y=mx-3
この不等式がの値にかかわらず成り立つから
-p+mp-3=0の判別式をDとすると
D< 0
25 [区間に定数を含む関数の最大・最小]
f(x)=lx-10x+18|
式の全体に絶対値記号
(1) |A|= (定数) の形であるから
よって120
したがって
-2√3<m<2√3
A=± (定数)
(2) y=f(x) のグラフは y=x10x +18 のグラフを
y0 の部分はそのままにして
ly < 0 の部分はx軸に関して対称に折り返す。
図で考える
(最大値) 7となるためには, as x Sa+4 は
0
「αより右側」 かつ 「βを含む」 かつ 「yより左側」
■ β-a=y-B√14 <4であるから,
a+4
例えば,「x=αで最大かつx=β が に含まれない」 場合はない。
(1) f(x) = 7 より
(2) y=f(x) のグラフは次のようになる。
|x-10x +18|7
|A| =7 のとき
18
x²-10x +18=±7」 A=±10m D
問題で与えられた他の条件から
どちらが計算しやすいか考える。
A-4
B
0
x
x軸から切り
(i) x10x + 187 のとき
x-10x +11=0
よって
x=5±√14
(ii) x10x + 18 -7 のとき
x²-10x +25=0
1701
|取る線分
(x-5)=0
このときのABの長さをm で表す。
(2) (①とy軸の共有点のy座標)
= g = -p+mp-3
①の頂点が直線で最大
←y=mx-3 上にあるとな
よって
思考のプロ
α=5-
B=5
27-5-
となる。
x=5
e
p
(i), (ii)より
求めるものの言い換え
y=-p²+mp-3
+2√6
の値にかかわらず-p+mp-30 となるm の値の範囲
(1) 放物線 ① の頂点は直線 y=mx-3 上にあり,
頂点のx座標が-4であるから, y 座標は
-4m-3である。
したがって, 放物線 ①がx軸から切り取る線分の
(x)=
長さは
x=5±√14,5
5
15-14 5+√14
ここで, 5-(5-√14)=√14<4
(5+√14)-5 = √14 <4である:
が7となるのは
5-√14≦a かつ a≦K≦
かつ +4
すなわち
-4+√-4m-3-(-4-√-4m-3)
のときである。
放物線 ①は上に凸であるから, x軸と異なる2点
6)=(2, 50
=2√-4m-3
830
で交わるためには
-4m-3>0
頂点に関する条件が与
・えられているから,
(2)y=(x-p) ++gより、放物線 ①の頂点
の座標は (p,p+g)
3
よって m<!
4
(頂点のy座標) > 0
から考える。
p+q=mp-3
これが直線 y=mx-3 上にあるから
13082128
①より
1≤a≤5
② より a≤1+√√14
したがって, 求めるαの値の
5-14 ≦a≦1+1
71-1
ここで,①は y=(x+4)-4m-3 と表され
るから、①とx軸の交点のx座標は
-(x+4)-4m-3=0
(x+4)=-4m-3
よって x=-4±√-4m-3
q = -p²+mp-3
よって, 放物線 ①とy軸の共有点のy座標は
+mp-3であり, これが負となるから
-p²+mp-3<0
で組合分け
+0+00-0--0-0
より、かであるから
10+91-1
