止めよ
Think
例題 62
連続と微分可能
****
1
関数f(x)=
=
x'sin / (x=0)
調の
分」お
国の
は, x=0 で連続か. また, x=0で
(x=0)
微分可能か.
(
8-18
考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える.
< 連続>
<微分可能>
f(x) がx=aで連続
f(x) がx=aで微分可能
⇔limf(x)=f(a)
x-a
⇔f'(a)=lim
h→0
f(ath)-f(a) (1)
h
第3
が存在する
ここ
接する
=1で
x=1で
微分
調微分係
解答
このとき「微分可能であれば連続」 であるが,「連続であっても、 微分可能とは限らな
「い」ことに注意する.
Ay
0 sin
x
limx'sin =0
→
limf(x)=f(0) であるか確
0x'sin
limx2=0 より
x0
したがって,
x
limf(x)=limx'sin-=0
x0
f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり
x0
関数f(x) は x=0 で連続である。
える。
当分する
M
次に,
lim
h→0
f(0+h)-f(0)
h
かめて, x=0で連続かど
うか調べる.
>より、各辺にxを
掛けても、不等号の向きは
変わらない.
各辺をx→0として極限
をとり, はさみうちの原理
を利用する.
x=0 で微分可能かどうか
調べる.
れぞれ
●0 のと
■=ax
0
=2x+1
h² sin
=lim
0 対するyの塩分をyと
h→0
h
(x)'a(x) (x)n)\\={()
1
=limhsin
......(x)
h→0
・h
((笑))
YA
|y=f(x)
もつ
0hsinh, limh=0. Di
h0
limhsin/12=0417mage
h→0
よって, f'(0) が存在するので,
関数f(x)はx=0で微分可能である。
1=1-2) (1+x)=
(
《注》> x=αで連続であることとは別に x=aで微分可能であることを示す必要がある.
練習
9
62
関数 f(x) = {
xsin
(x=0)
X
は, x=0 で連続か. また, x=0で微分可能か.
