143です。解説にそれぞれの1次不定方程式の整数解が書いてありますが、これは自分で思いつくしかないのでしょうか？それとも求める方法があるのですか？教えていただきたいです🙇‍♂️

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 判断力 次のO~0の1次不定方程式のうち,整数解 (x, y) が存在しないものを1 つ選べ。 「ア 0 23x-31y=1 0 23x-31y=-2 481x+407y=1 0 481x+407y=37

最後の注の部分の比例式が成り立つのは何故なのか分からないので、 解説して欲しいです。 よろしくお願いします

9 連立1次方程式 / 連立方程式の解の存在条件 [(a−2)x+4ay=−1 の定数として、次のエリについての連立方程式を考える。ょー (34+1)y=a ] のとき, この連立方程式の解は存在しない. (麗澤大) [] のとき, この連立方程式の解は無数に存在する 等式の条件の扱い方 等式の条件式が1個与えられたら,それを使ってどれか1文字を消去するの が原則的な手法である.x,yの連立1次方程式の場合,例えば一方の式からxをyで表して、他方の式 に代入するとyの1次方程式に帰着できる. xの方程式x=gの解 p=0のときx=2, p=0 かつ g=0のときxは任意, p=0 かつq≠0 のとき解なし Þ 解答 100>A 70 A<[X] @ 1 (a−2)x+4ay=-1 >x> [<]X[** (2) x-(3a+1)y=a 3 であり、 ②により, x=(3a+1)y+a ③を①に代入して, (a−2){(3a+1)y+a}+4ay=−1 .. (3a²-a-2)y=-a²+2a-1 ④ (a-1)(3a+2)y=-(a-1)2 の方程式④の解y に対して, ③ によりxがただ1つ定まり, 連立方程式 ①か つ②の解(x,y) がただ1つ定まる. よって, 連立方程式の解が 「存在しない・無数に存在する」 条件は、④の解が 「存在しない・無数に存在する」ことと同値である. よって, ④ から のとき解なし. 3 (a-1)(3a+2)=0かつ-(α-1)20, つまり α=- (a-1)(3a+2)=0かつ(a-1)2=0, つまり α=1のとき解は無数 . 注連立1次方程式の解の存在条件を座標平面で考える方法もある. |ax+by=e... Ⓒ ((a, b)=(0, 0) lcx+dy=f・イ (c, d)=(0, 0) 一般に, を考えてみよう.xy平面上でアイは直線を表す. アとイが交われば,その交 点の座標が連立方程式の解である. したがって, ●解が存在しないということは,直線アとイが共有点をもたない,つまりアとイ が平行で一致しないことと同値. ●解が無数に存在するということは,直線アとイが一致することと同値. —ということになる. 直線アとイが平行である (一致も含む) ための条件は、 a:b=c:d(← ad-bc=0) a TRAN a= a= 方程式の解が存在する・存在しな いをとらえるには, 実際に求めよ うと考えればよい.y を求めるな ら ④式を導くところ. 0-1,84502121 3012120 T I+=2(1-1) +3021 本問の場合、次のようになる. ①と②が平行 (一致も含む) であ あるための条件は,十 (a−2): 4a=1:{-(3a+1)} (a-2) (3a+1)-4a=0 ∴.3a²-a-2=0 2 a=- 1 XJIK 3' これらのときの ① ② を求め, 致するかどうか調べる (α=1の ときのみ一致する).

求める条件がなぜ少なくとも1つの解を持つことになるのかが分からないので教えてほしいです！

0の方程式2cos'0+2ksin0+k-5=0 を満たす@があるような定数kの値の範 224 は定数とで えよ。 ただ w この方 重要 例題143 三角方程式の解の存在条件 a 囲を求めよ。 [同志社大) 基本 140 指針> まず,1種類の三角関数で表す この方 計> cos 0- 前ペー の (1-x°)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0 ……… ① ことと同じである。次の CHART に従って,考えてみよう。 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 を 辺に後 線yー ,直 解答 cos 0=x とおくと,-1<xS1であり, 方程式は (1-x)+ax-2a-1=0 すなわち xーax++2a=0… ① この左辺をf(x)とすると, 求める条件は,方程式f(x)=0 がて整理すると -1Sx<1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。 これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について, 次の [1] ま たは [2] または[3] が成り立つことと同じである。 『 [1] 放物線 y=f(x) が -1<x<1の範囲で,x 軸と異なる2る条件を考えてもよい。解営式は 点で交わる。または接する。 このための条件は, ① の判別式をDとすると D=(-a)?-4-2a=a(a-8)であるから 検討 x?-ax+2a=0をaについ x°-a(x-2) よって,放物線y=x° と直線 ソ=a(x-2)の共有点のx座 標が -1<xS1の範囲にあ 「答 0s0=x と 編p.139 を参照。 D20 したがって a(a-8)20 )=x°+ よって as0, 8Sa 2 軸x=; について -1<号<1から -2<a<2 求める グラフと a 3 o -1 レ1 2 x f(-1)=1+3a>0から 央中 f(1)=1+a>0 1 4) よって, 3 4 || 関数 求める から a>-1 5) 2~6の共通範囲を求めて 1 <as0 3 -1 [2] 放物線 y=f(x) が -1<x<1の範囲で,x 軸とただ1点 で交わり,他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。 このための条件は Neo a 1 12) a ゆえに(3a+1)(a+1)<0 1 よって -1<a<- 13] 3 の [3] 放物線y=f(x) がx軸とx=-1 またはx=1で交わる。 f(-1)=0 または f(1)=0 から 00 -1 1 または a=-1 a=ー 3 -1SaS0 れる [1], [2], [3] を合わせて 参 [2] と [3] をまとめて, f(-1)f(1)<0としてもよい。 練習 143 囲を求めよ。 の 1441 ア ー 回

解き方を見てもよく分かりませんでした… どのように考えれば良いのか教えて頂きたいです。

例題 5 連立1次不等式の解 2x+126 (1) 実数xについての連立不等式 の解が存在するような整数kのうち, 最大の 4-3x2k ものを求めよ。 【千葉工大) 5 (2) 1-x<4x+7<x+3a を満たす整数xが1つだけになるような整数aの値を求めよ。 【摂南大) 連立不等式の解は,それぞれの不等式の解の共通範囲。 (1) 解の存在条件- (2) 整数解の個数 考え方 共通範囲が存在する条件から, 定数kについての不等式を導く。 共通範囲に整数が1つだけ含まれる条件から, 定数aについての不等式を導く。 解答 5 x2 2 4-k xS- 3 (1) 2x+126 から 4-3x之k から 2 0, 2を同時に満たす実数xが存在するための条件は 5 4-k 7 よって RS- 2 2 3 5 2 4-k 3 これを満たす整数えのうち, 最大のものは k=-4 圏 6 7 xSaー 3 (2) 1-x<4x+7 から の 4x+7Sx+3aから ーミx 0, 2を同時に満たす整数xが1つだけになるための条件は 4 よってSaく e 7 -1Saー <0 3 6 -1 5 70 a- 3 x これを満たす整数aは a=2 答 章 練習 (1) 2つの不等式 2x+3>5-3a, -10x+11>3+13a を同時に満たすxが存在するような 定数aの値の範囲を求めよ。 【大阪商大) 5 -<4xSx+n を満たすxの範囲に整数がちょうど2個存在するような整 3 -章 2x+25 (2) 不等式 [金沢工大) 章 数nの最大値を求めよ。 章

添削をお願いしたいです。 答えを出す前にyの最大値と最大値のt座標から2t²-1=-a(t+1)に代入してaを求めました。 それを書きたいのですがどう書けば良いか分かりません。

040=nとする。Gへ方程式 - cos20+ a sin b+ a=0 を満たす9が存在するための定数aa値へ範囲を求れよ Cos20 + aSing+ a-0の (- 2sin*9) a sing +a - 0 2sin'B+Qsing + a-l-0 2sin-9-1 --al sinO+) sing - tとおくとOs 9ETより 2t-|--a[t+) (0=tst) また、¥- 2£-|+-a(tti)をすると (os大s1) ¥-24-1©と\ --a{++i)…@か失有点を 持っとき O を満たす0か存在する Oり\- 2(オー+)*+子 8 O#り大-0 のとさ ¥--1で の (+,) (o, -)を通も直線である。 左、図り美有点を持っn4 t I -ミas|のとである。 O lo → 4

二つの方程式が 平行かつ一致しない→解は存在しない 平行かつ一致する→解は無数に存在する ことは知っているんですけど、なぜ画像の解答でも解けるんですか？

9 連立1次方程式/連立方程式の解の存在条件 J(a-2)ェ+4ay=-1 12-(3a+1)y=a aを実数の定数として,次のz, yについての連立方程式を考える。 ]のとき, この連立方程式の解は存在しない。 のとき, この連立方程式の解は無数に存在する (麗導大) a= a= 等式の条件式が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するの が原則的な手法である.z, yの連立1次方程式の場合, 例えば一方の式からェをyで表して, 他方の式 に代入するとyの1次方程式に帰着できる。 xの方程式 pr=qの解 等式の条件の扱い方 pキ0のときェ=9 p' p=0かつq=0 のときェは任意,か=0かつ qキ0のとき解なし ■解答 X JCa-2)ェ+4ay=-1 1ェ-(3a+1)y=a であり,②により, =(3a+1)y+a (a-2){(3a+1)y+a}+4ay=-1 :(3a?-a-2)y=-α'+2a-1 (a-1)(3a+2)y=ー(a-1)? yの方程式④の解yに対して, ③によりェがただ1つ定まり,連立方程式①か 3をのに代入して, ④ ←方程式の解が存在する·存在し- いをとらえるには, 実際に求め うと考えればよい. yを求める ら,の式を導くところ。 つ2の解(z, y)がただ1つ定まる。 トェリーマ よって,連立方程式の解が「存在しない·無数に存在する」条件は, ④の解が 「存在しない·無数に存在する」ことと同値である. よって,④から (a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?+0, つまり a=-;のとき解なし. 3 (a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?=0, つまり a=1のとき解は無数。 今注 連立1次方程式の解の存在条件を座標平面で考える方法もある。 Jaz+ by=e…の lcz+ dy=f…@ I(c, d)#(0, 0)/ コ本間の場合,次のようになる。 のと②が平行(一致も含む)で るための条件は, (a, b)キ(0, 0)) 一般に, を考えてみよう。2y平面上で⑦, のは直線を表す.のとのが交われば,その交 点の座標が連立方程式の解である.したがって, ●解が存在しないということは, 直線のとのが共有点をもたない,つまりのとの が平行で一致しないことと同値。 ●解が無数に存在するということは,直線のとのが一致することと同値 ーということになる。 直線のとのが平行である(一致も含む)ための条件は, (a-2):4a=1:{-(3a+1)} …-(a-2)(3a+1)-4a=0 . 3a-a-2=0 2 a=ー 1 3' これらのときのの, ②を求め, 致するかどうか調べる(a=10 ときのみ一致する). a:b=c:d(→ ad- bc=0)

数IIの青チャートの重要例題143についてです。この問題は指針をよんでも解説を読んでもほとんど自分には理解できません。どうかお願いします…

重要 例題 143 三角方程式の解の存在条件 OO000 0の方程式 sin°0+acos0ー2a-1=0 を満たす0があるような定数aの値の範 囲を求めよ。 【同志社大) 基本140 指針> まず, 1種類の三角関数で表す 一 cos 0=x とおくと,-1Sx<1 で、与式は (1-x)+axー2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0 … (① の よって, 求める条件は, 2次方程式 ① が-1Sx%1の範囲に少なくとも1つの解をもつ ことと同じである。 次の CHART に従って, 考えてみよう。 ① 2次方程式の解と数kの大小 グラフ利用 D, 軸, f(k)に着目 区

整数の問題なんですが、自力で解を見つけなくてはならないのですか？ 解説お願いします🤲

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 次の0~0の1次不定方程式のうち, 判断力 整数解(x, y)が存在しないものを1 つ選べ。ア 0 23x-31y=1 0 23x-31y=-2 0 481x+407y=1 3 481x+407y=37

(3)の答えがどう考えたらこの答えになるのかがわかりません... 教えてください┏○))ﾍﾟｺﾘ

0 重要例題167 対数方程式の解の存在条件 OO00 xの方程式{log2(x+/2)}?-21og2(x°+V2)+a=0 次の問いに答えよ。 ただし, aは定数とする。 (1) log2(x°+V2)のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) のが実数解をもつとき, aの値の範囲を求めよ。 (3) aが(2)で求めた範囲の値をとるとき, ① の実数解の個数を求めよ。 0 について、 TUJO n

（ァ）についてです。なぜ－1＋5/Kが1/2よりも小さくなる場合は考えないのですか？

10 1次不等式/解の存在条件,整数解の個数 (ア)k>0を実数とするとき, 2つの不等式 |2.r-3|<2, |kx=5|<んを同時に満たす実数ェが存 在するようなんの値の範囲は, k> である。 (東京経大) 18 (イ)不等式 ェーく を満たす整数 の個数は 7 ]である.正の数aに対して,不等式 <aを満たす整数ェの個数が4であるとき,aのとりうる値の範囲は コである。 (京都産大·理,工,コンピュータ理工(推薦)) 不等式の解の存在条件 a<zく6を満たすェが存在する条件はaくbである。 また,aくbかつc<dのとき, a<zくbかつc<x<d を満たすェが存在する条件は, a<dかつc<bである。 数直線を活用する 書いて考えると明快である.答えの範囲で端点が入るかど うか(範囲がくかくか)を間違えやすいので, 十分注意を払おう。 a<dだけだとダメ a<dかつc<もならOK (イ)のような問題では,数直線を a bc d a c 6 d ■解答 (ア) |2.c-3|<2のとき, -2<2.z-3<2 2 2 5 5。 |kr-5|<kのとき, -kくkx-5<ん. k>0により,-1+-く»<1+ (5 k 1 k>0から,く1+ に注意すると, ①と②を同時に満たす:が存在する条件は, 5 10 k> 7 5-7 2 5 く k 5 2 2 k 2 5 k 5 、 (-1+号-OK I-1+-ダメ o」 2 18 16 20 k 10 19