既知の問題に帰着 係数が左右対称 相反方程式という。
そうはん
相反方程式×
例題48
次の方程式を解け。
(1) x*+3x°-2x° + 3x+1= 0
(2) x°+ 4x+x+x°+ 4x+1= 0
対称
(1) +3x-2x°+3x+1= 0
で割る
1
x+ 3x-2+3.
1
x?+
+3(x+
x
-2=0
組にする
Xで表される
Xとおく
(2)相反方程式であるが, x°で割っても, xで割っても, うまく組をつくれない。
→まずは,因数定理を用いて因数を1つ見つける。
Action》 2n 次の相反方程式は, "で割り x+ー
=X とおけ
闇(1) x=0 は解ではないから, 方程式の両辺をxで割ると
3
2°+3x-2+
日両辺をで割るため
に,まず xキ0であるこ
とを確かめる。
1
= 0
x
(fc0)=4なので
火もO
すなわち
1
+3(x+
-2 = 0
x
1
x+
=X とおくと,① は
X?+3X-4=0
X? = (x+
x
= x°+2+-
(X+4)(X-1) =0 より
x+
-4, 1
x
=ー
よって
1
x+
x
1
=-4 のとき x+4x+1=0 より x=-2±/3
ニ= X°-2
1土/3i
1
=X より
x
1x+
1
=1のとき x°_x+1=0 より
x=
2
x
x°+1= Xx
1土/3i
これより
- Xx+1= 0
したがって
x= -2±/3,
2
(2) P(x) = x*+4.x* + x+x+4x+1 とすると
P(-1) = -1+4-1+1-4+1= 0
P(x)をx+1で割ると,商は x*+3x°-2x°+3x+1
よって
因数定理を用いる。
PlusOne
奇数次の相反方程式は、必
ずx=-1 を解にもつ。
(x+1)(x* + 3x°_2.x°+3x+1) =0
ゆえに x+1=0 または x*+3x°-2.x°+3x+1=0
したがって,(1) より
1土/3i
(1)の結果を用いる。
=-1, -2±/3,
2
1章-高次方程式一
思考のプロセス
