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数学 高校生

この問題で相加平均・相乗平均を使う理由を教えて下さい 引き算で大小は分かる気がするのですが、相加相乗を使用するのはなぜでしょうか

62 基本 例題 34 多くの式の大小比較 a>0,6>0, a=bのとき, a+b 2ab a2+62 ✓ab, 2 a+b' V 2 |指針 大小を比較 基本 27,2932 4つの式の大小を,2つずつ (C2=) 6通り全部比較するのは面倒である。 そこで,a>0,b>0を満たす数 α = 1, 6=3 を代入してみると a+b 2=2√ab=√3, 2 2ab a+b 3 a²+b² =√5 2 2'V 2ab a+b a²+62 よって, <√ab であると予想がつく。 a+b 2 2 この予想をもとに,2つずつ大小関係を決めていく。 CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する √ab(a+b)-2ab_√ab(a+b-2√ab) 2ab √ab 解答 a+b a+b √aba-√6) ->0 a+b 2ab よって √ab> a+b ① (相加平均) (相乗平均)により a+b <ab= (√ab) √ab>0, √a-√60 から(√a-√6)20 a+b >√ab abから等号不成立。 2 a²+62 1 a+b² a²+b² (a+b)² - (a−b)² = >0 2 2 4 を含むから,平方の 差を比較。 a-b≠0 a²+62 >0, 2 2 a+b>075 a²+b² a+b 2 2 2ab ①~③から <√ab<- a+b a+b a+b2 αキのとき。 2 2 参考上の例題において, a=bのときは,①,②③それぞれで>を=におき換えた等式が成 り立つ。すなわち 2ab a=bのとき = √ ab = a+b a²+b² = a+b 2 A 2 2ab 2 また, a+b 1 1 + は逆数の相加平均の逆数である。 これを調和平均という。 a b 上の例題の結果とAから,一般に, 40, 6>0に対して次のことが成り立つ。 (調和平均) ≦ (相乗平均) ≦ (相加平均) (等号が成り立つのはa=b のとき) 練習 (1) h

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数学 高校生

青線引いた部分についてです!ここでなぜ絶対値をとる必要があるんですか?回答よろしくお願いします!

一末問題 にして, bc となり、 ab bc b-a -loga + a c-b 21, √ab+√bc +√ca=1 ca blogs√be ac c-b log c -log+a-c syab+√bc+vcaD ここで、a++√c=1 の両辺を2乗すると, a+b+c+2,/ab+2、bc +2√ca =1 vca > 0 ) (x 第4 .d <rg^(x)=f(x)-1≦1-1<0 0-7(x) ca a log C であるから,g(x)は単調減少な関数である。 ここで,g(0),g(1) を考えると |g(0)=f(0)-0 1 1+e=20 == 1 |g(1)=f(1)-1= 1-(a+b+c) 15. J 1+e e+1-1=<0 したがって,g(x)=0 は 0<x<1にただ1つの解を e e+1 もつ。 2 八 また、√a++√c=1のとき、(2)より,0x よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ (3)(2)において yA y=x/ loga f(x)=x を満たす a+b+c...... laga Co 01 1=x+p+00 ただ1つの解をβと おくと, 0<β<1で あり y=f(x) 2)(am, f(an)) f(x)は 0 1- f(B)=BD an an+1 8 1 x 3 1 ②.③より√ab+√bc+√cas 2 a+b+czy, よって、 ① より, b-a a c-b ab logb+ be log+c logs bc C ca +p+ (1-(a+b+c) ≤1-1 33 b a-c 4 関数f(x)=- について、次の問いに答えよ.hpps-fe また、条件より f(am)=an+1 ......② ①②の辺々の差の絶対値をとると f(am)-f(B)1=lan+183 ここで, an≠β のとき, f(x) に平均値の定理を用い ると, したがっf(am)-f(β) -=f'(c) ••••••④ うになる an-β (021) を満たすc が a と β の間に存在する. ④を変形して, Tx+ 1 1+e (1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ. (2) 方程式 f(x)=x はただ1つの実数解をもつことを示せ.)+(-6) (3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{an} は,初項 α の値によら ず収束し, その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ. (1) f'(x)=1+e^*) (1+e_x)1+2+e_25 1 1 *+2+* e*+. ++2 e₁ (23) \f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-Bl ③を用いると, an+1-Bl=\f'(c)lla-β.......⑤ つまり, ⑤を満たすcが, am とβの間に存在する. (1)より.0<f(x)=1であるので、 >20) 商の微分 分母、分子にe を掛ける。 ①lam+1-Bl=\f'(c)|lam-B グラフ ya a-B ......⑥ よって、グラフ が成り立つ 2 ここで0.12.20 であるから,相加平均・相乗平 均の関係より, 等号成立は,e= 1 e+ +2≥4 また,am=βのときも, ⑥は成り立つ. ⑥をくり返し用いると, したがって f'(x)=- 1 ex+- ex+2 よって、f'(x)の最大値は,1/1 (2)g(x)=f(x)-xとおくと, すなわち, x=0 のとき 両辺ともに正より逆数をと an+1 0<-x) る. したがって, 201 do an-1- a- 0.0<00< -1 lim (1) la.-B1=0 であるから,⑦とはさみ であり, lim うちの原理より,

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