至急教えていただきたいです。

★ 複素数α に対して、 4α の実部と虚部を それぞれα,α で表しなさい。

⑶についてです なんで0のときなんですか？(実数の時)

4k を実数の定数とする。 xの2次方程式 x2+kx-k+4=0.•••••(*) がある｡ (1) k=1のとき, (*) を解け。 (2) (*)が虚数解をもつようなんのとり得る値の範囲を求めよ。 (3) は実数,9は0ではない実数とする。 g の値によらず, p-qi が実数となるようなかの値を求めよ。ただし, p+qi i は虚数単位とする。 (4) (*)の2つの解をα, βとする。さらに,α, βはともに虚数であり,αの虚部は正であるとする。このとき、(d)2 が実数となるようなんの値と,そのときのα β の値を求めよ。 ただし, 複素数a+bi(a,b は実数)に対して, a を 実部, bを虚部という。

⑶の問題です。 解説プリントのZが①の解ならばZバーが①の解っていうところがピンときません。 対称式とかなんとか。意味が分かりません。なんとなくは分かるのですが、

) Z 121=1 かつ 127+11=1 Z Zが実数とすると、成立しないので、2日 1+11=14 (24+1)(21)=1 (21){(金)+11=1 (22) " + = " + (2) " + | = 22=121=1より 2₁+ (2) ² + 1 = 0 Z tv Do = =+ Da tu A 2₁, 2₁, 22, 2₂, Zz ①を満たすでは、 共役な複素数の組となる。 (2₁-2₁)-(2₂-2₂) -- (26-2) 12₁ 1²2 12₂ 1²---12-1² 1211212.12. 1 - x² + y² Z.Z ZW = (ixi 11 = Z. Z zw (Z)" |(3) ²+1 | = 1 ((Z)²+1) (2) ²+1) zac, k ((2)²+1) (z^+1)= (ZZ)" + Z^+(Z)" "Z" + (Z)"

矢印の変換が分かりません。

(2) 次の値を求めよ。 兀 (i) {2(cos/0/+ +isin 27) 5 (1) は,ド・モアブルの定理において n = 2 として,左辺と右 方針 をくらべます。同様に n=3とすると,3倍角の公式を導くことがで ます(各自やってみてください)。 解答 (1) ド・モアブルの定理においてn=2とすると. (cos0+ isin0) = cos20+ isin20 cos20 - sin²0 +2sin@cos日•i = cos20+ isin20 よって, (2) (1) 12 (cosm 5 cos20 = cos20-sin'実部をくらべた sin20=2sin@cose -虚部をくらべた ID=28(cos7+isinz) -32 + isin (ii) 1 + i=√2 cos (ii) (1 + i) 5 TC 5 TU 4 TC 7 より -+isin- (iii) (√3+i)-³ 9 (√3+ i=2(cos+isin). 6 (√3+ i)¹ = 2(cos+isin) 9 9 COS (1 + i)={√(cos/a/f+isin- 44)=(√2)(cos/14n+isin 1/17) 2 4 4 = 16 (1+i) -3 一絶対値は25, 偏角は5×5 極形式に直した 絶対値は TU 偏角は 4 極形式に直した 絶対値 = 2³ (cos(-1/2) + isin(- 12) = ---*** 偏角は-

1問からでいいので詳しく解答をお願いしたいです！ お願いします！！

4 iを虚数単位とし, 複素数αを α = COS 27+ + isin 2 とする。 αは1の7乗 根のひとつでありα+α+α+ α + α + α +1=0を満たす。 αとは互い に共役な複素数であり, 25 および α と α についても同様である。 複素数平面において14個の点A, A1, ·......, A13 を A2n(α² ) A2n+1 (-α+4) (n=0,1,2) A2n+1(-"-3) (n=3,4,5,6) と定めると AoA・・・・・・ AA13は下図のような正十四角形になる。 y A6(3) A7(-1) A5(-α6) Ag(4) A⁹(-α) A₁(α²) (n=0,1,2,･････, 6) A10(5) Ag(-a) A₁1(-α²) A2(α) A12(6) A₁(-α¹) Ao(1) A13(-α³) I り このとき,対角線 AoAs, A2A6. A4Ayo が1点で交わることを証明した。 線 AA5 と AA10 の交点をP(z)として、以下の問いに答えよ。(土) (1) P が対角線 AA10 上にあることから, zとαの実部は等しい。 これを利用し て,z+ αの5次以下の整数係数の多項式で表せ。 (2) AlAs OA は平行なので、ある実数kを用いて AP=kOAgと表すことが できる。 これを利用してzをa, kを用いて表せ。 (3) (2) 実数をαの5次以下の整数係数の多項式で表せ。 必要であれば a= a¹ + a² EESTERS IN が成り立つことを利用してもよい。q(≧=>0 (4) A2,A6, P が同一直線上にあることを証明せよ。 以上により,対角線 A0A5, A2A6, A4 Alo が1点で交わることを証明できる。

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。

質問は最後に添付してある紙の通りです。 よろしくお願いします。 一応右のメモ書きのように僕は解釈したんですがなんか違う気がして…

み代をと 26 複素数平面上を点Pが次のように移動する. 1.時刻0では、Pは原点にいる。 時刻1まで, Pは実軸の正の方向に速さ1で 移動する. 移動後のPの位置をQ (21) とすると, z=1である. 2 時刻1にPはQ{(z))において進行方向を回転し、時刻2までその方向 = 1 に速さ で移動する. 移動後のPの位置を Q2 (22) とすると, zz= √√2 ある。 4 3. 以下同様に,時刻nにPはQ7 (27) において進行方向を n+1までその方向に速さ Q1 (21) とする.ただしぃは自然数である. 1+i a= として, 次の問いに答えよ. 2 α,nを用いて表せ. 思考のひもとき 1. 右図において n 1 で移動する. 移動後のPの位置を √√2 r-p=(q-p) (cos0+ i sin0) 2. PQ を回転させ, a 倍するとPR となるとき r-p= (g-p)a(cos0+isin0 ) TC (1) 23, Z4 を求めよ. (2) 2 (3) P Q (21), Q2 (22), と移動するとき,Pはある点Q (ω) に限りなく近づ く.w を求めよ. (4)の実部が(3)で求めたwの実部より大きくなるようなすべてのnを求めよ. (広島大) 解答 (10)とする. 条件 1,2,3より TC QQ1を ・回転させ、一倍すると QQ2になり 4 TC Q1 Q2を回転させ 倍するとQ2Q3になり √√2 3+i 2 一回転し, 時刻 P(p), P(p) で ●R(r) R(r) ●Q(g) Q(g) a= (2

これ②が階差数列なのでこの式になったと思うんですがなんでこの部分は、z_n+1-z_nじゃないんですか？ほんとはシグマにn使ってしまっているのでz_k+1-z_kが正しいんでしょうけどそれにすらなってないのですが…

複素数平面上を点Pが次のように移動する. 1.時刻では、Pは原点にいる。 時刻1まで。 Pは実軸の正の方向に迷さ 移動する、移動後のPの位置をQ, (21) とすると, z=1である。 2. 時刻1にPはQ(z)において進行方向を一回転し、時刻2までその方 _3+i 2 1 に速さ で移動する。移動後のPの位置を Q2 (22) とすると、マニ √2 ある. 3. 以下同様に,時刻nにPはQm(zm) において進行方向を n+1までその方向に速さ Q+1 (2+1) とする. ただしぃは自然数である. 1+i α= として、次の問いに答えよ. 2 思考のひもとき 1. 右図において (1) Z3, Z」 を求めよ. (2) z をαnを用いて表せ. (3) PQ1(z), Qz(zz), く.w を求めよ. (4)の実部が (3) で求めたwの実部より大きくなるようなすべてのnを求めよ. (広島大) QoQ1を r-p=(q-p) (cos0+isine) 2PQを回転させ, a 倍するとPR となるとき r-p= (g-p) a(cos0+isin0) 解答 (1) Q (0)=0 とする. 条件 1,23より Q1 Q2 を 4 1 √2 回転させ 回転させ 1 で移動する. 移動後のPの位置を 1 √√2 と移動するとき,Pはある点Q(w) に限りなく近づ 倍すると QQ2になり 回転し、時刻 倍すると Q2Q3 になり P(p), P(p) ●R(r) R(r) ●Q(g) Q(g) α= O 1+i 2 ²

どう解くか教えてください

トレーニング 複素数平面 ド・モアブルの定理 数学計算演習 数学III 次の計算をせよ。 1の12乗根のうち、 実部が負であるものを求めよ。 解説 [狙い]ド・モアブルの定理を用いて複素数のn乗根の求め方を理解する。 [方針]z"=1について、 の絶対値|z|=1であり、 ド・モアブルの定理を用いると cos no + sinno=cos0+isino(=1) と表せられる。 両辺の偏角に着目して、 2km no=0+2km (kは整数)となり、 0= となるのでここからの値を求める。 n [答案] の12乗根は次の式から得られる12個の複素数zk(kは0以上11以下の整数) である 2km Z = cos- 2km 12 +isin 実部が負なので、 π 2km 2 12 すなわち - (kは0以上11以下の整数) 12 <12/21k=4,5,6,7,8 √√3 - - - - - - - - - . - - 12 == Z4 + -i, Z5 + 2 2 2 ,26 -1, 553 1-1,2 - 15/11 √√3 i 2 前の問題へ 閉じる 次の問題へ

複素数の問題です。 全て解いてほしいです。 特に問題4の解説をよろしくお願いします。

問 ■複素平面と極形式 題 複素数zは:=Rez+ i Imz と書くことができ、実部 Re z をx座標、虚部 Im:をy座標に見立てることで、 ガ ウ こを2次元平面上の1点として捉えることができる。この平面を複素(数)平面ないしGauss 平面と呼ぶ。 一方、ある複素数zを、二つの実数r,e(ただしr>0に制限す る)を用いて Im ミ=ree という形で表わしたものを:の極形式表示と呼ぶ。e の逆数は -1 Im:=rin 1 で定義する。 er Imz 問[]()r= |, tan @ = が成り立つことをそれぞれ示せ。 Rez (i) 逆数の定義に基づいて (e")= e-t0 であることを示せ。 Re Rez=r このようにこの絶対値であるrは複素平面における原点(0+ 0i) から、までの距離を表わし、0は原点とこを結ぶ線分が実軸となす 角を表わす。はarg z とも書き、偏角 (argument)(物理や工学で はしばしば位相(phase))と呼ぶ。原点の周りを一周しても同じ点 に戻ってくることから、0には 2x ラジアン= 360度の整数倍の不 定性がある。また、0+0iの偏角は定義されない。 図1 複素平面。 偏角と加法定理 絶対値が1の二つの複素数 Im 21= COs # +isin @, 2= cos #,+i sin @。 を考える。ここで0,,02 は実数とする。 問 [2]() 積22 を計算し、三角関数の加法定理とオイラーの公 式を用いて極形式表示に直せ。また、同様にして商z/zz = zi の極形式表示も求めよ。(i) 21,22の複素平面における表示を図2 とする。このとき、積」みと商z/を複素平面に図示せよ。 0.5 Re -10 -0.5 0.5 21= e,22= e であったから、小間 (i) のとくに積の方の結 果から、次の基本的な指数法則が成り立つことが理解できる: 基本的な指数法則 -0.5 実数,に対してelh el = e(h+h)が成り立つ。 図2 と2の複素平面における表示。 また、小間(i) の結果から、22= e' hを掛けることで」から偏 角がだけ反時計回り方向に回り(角度が+)、2で割ることで 2」から偏角はだけ時計回り方向に回る(-)ことが納得できる。