1枚目の写真で「等しいかどうか分からないA＝Bから式を変形し始めてはならない」とありますが、なぜ2枚目の問題では2乗とかできているのでしょうか？これもこれから証明する等式ではないのですか？

因数 解答1 a+b+c=0 から c=-a-b hidbo これを与えられた等式の両辺に代入してbobo b(-a-b) (b-a-b)+(-a-b)a(-a-b+a)+ab(a+b)=-3ab (-a-b) b(-a-b)(-a)+(-a-b)a(-b)+ab(a+b)=3ab(a+b) 2 のと よって, 与えられた等式は成り立つ。 3ab(a+b)=3ab(a+b) A( = 解答 2 a+b+c=0 から, a=3,b=-2, c=-1 とおくと (左辺)=-2・(-1) (−2−1)+(−1)・3・(−1+3)+3・(-2)・(3-2)=-18 (右辺)=-3・3・(-2) (-1)==18+(nd-ad)+(op-db))= よって, (左辺)=(右辺) であるから,与えられた等式は成り立つ。 られる)に いたりするとうま A=B・ 解答 1 は, 証明する等式 A=B･･････ ①の両辺を同時に変形して A=B A'=B'A"=B" ⇒ … JC=C から,①が成り立つとしているが, A=B はこれから証明する等式である。等しいか どうかわからない A=B から式を変形し始めてはならない。

1番が分かりません(2番は1番が分かれば大丈夫なので省きます) Qの中でPを満たさない領域もあると思うので、証明出来ていないと思うのですが… 逆ならQの方が大きくPを全て含むので分かるんですが、どうして違うのか分からないので解説して欲しいです

基本(例題 131 領域を利用した証明法 x, は実数とする。 (1)x2+y2+2x<3ならばx2+y2-2x<15であることを証明せよ。 (2)x2+y^≦5 が 2x+y≧kの十分条件となる定数kの値の範囲を求めよ。 解答 p.194 基本事項 2 (1)与えられた命題は,式の変形だけでは証明しにくい。このようなときは, 領域を利用した証明法が有効。 この命題の仮定と結論 gの不等式を満たす点(x, y) 全体の集合を、それぞれ P={(x, y)|x2+y'+2x<3}, Q={(x, y)|x2+y^-2x<15} とすると「pg が真である」⇔PCQ であるから,P,Qを図示することによ りらくに証明できる。 (2) 「bgが真である」「はαの十分条件」PCQ したがって、ここでは,{(x, y)|x2+y^≦5}{(x,y)|2x+yk} となるようなkの 値の範囲を、図をかいて求めればよい。 CHART xyの不等式の証明 領域の包含関係利用も有効 (1)x2+y2+2x<3⇔ (x+1)2+y^<22 x2+y²-2x<15⇔(x-1)'+y^<42 P={(x, y)|(x+1)²+y²<2²}, Q={(x, y)|(x-1)^+y2<42} とすると,図から,PCQが成り 立つ。 よって, x2+y2+2x<3ならば P 209 <Pは 円 (x+1)2+y2=22 -3 5 x の内部, Qは 円(x-1)+y2=42 の内部。 x2+y²-2x<15が成り立つ。 (2) P={(x,y)|x2+y2≦5}, Q={(x, y)|2x+yk} とすると x2+y^≦5⇒2x+y≧k が成り立つ ための条件は PCQ k < 0 かつ ゆえに よって,図から 12-0+0-k√5 √√22+12 |-k|≧(√5)2 よって k≤-5, 5≤k k<0 との共通範囲をとって k≤-5 12x+y=k ⇔y=-2x+k 傾きが-2, y切片 15 x 直線。 -√5 √5 (円の中心 (0,0)と -5 直線の距離) (円の半径 ) |-k|=|k|である から k5

写真に書き込みしている通りです。 1がなぜいきなり出てきたのか、なぜ次の行の式になるのかわかりません

a700のとき、不等号を証明せよ (2)(a+b) (12/2/+2/28) 32 20 (証明) (a+b) (2a +24) = h a 20 20 + +1 2h ・1/2(+量)+1 1/2vate) =vata → atl=2Nathと同 170,170より、(相加平均)≧(相乗平均)の関係から 1/2(A+B)の状況 h 何でここに1がいるのか a t 2 a (+1 ha a 1 よって(1) ここへの変化が分からない なぜこうなるのか よって(a+b) (2+2)=1+1=2k 中文に(a+b) (2/+2/):2 2a また等号が成り立つのは2=1のとき、すなはちahのときである 2-14-9

なぜ赤で囲まれたところでは、.... <(１／3)^n(3-a1)なのに回答では<=になっているのか？ ChatGPTに聞いてみたけどよくわかりませんでした。教えて欲しいです

重要 30 漸化式と極限 (5) ・・・はさみうちの原理 00000 数列 (a) が 03.42=1+1+α (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき (1) 03を証明せよ。 ((3) 数列{an) の極限値を求めよ。 指針 (2) 3-** <1/12 (3-2)を証明せよ。 [ 神戸大] p.34 基本事項 基本 21 ① すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。 (2)(1)の結果、すなわち、3-0であることを利用。 (3) 漸化式変形して、一般項αをの式で表すのは難しい。そこで、(2)で示した 不等式を利用し、はさみうちの原理を使って数列 (3-α)の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて Disastのとき limp = limg =α ならば なお,p.54.55の補足事項も参照。 lima-a 53 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 2章 数列の極限 解答 (1) 0<an<3 ...... ① とする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると 0<ak <3 nk+1のときを考えると, 0<ak<3であるから ak+1 1+1+ak >2>0 ak+1=1+1+ak <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 < よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (2)3-αn+1=2√1+an = 3-an 2+√1+an </13- <1/3 (3-4) \n-1 lim (3)(12) から, n≧2のとき no 3 1\n-1 したがって 03-am = (1/3) =(1/2) (301) (3-α1) = 0 であるから lim(3-an)=0 N1X liman=3 n→∞ 数学的帰納法による。 <0<a<3 <<αから√1+ax >1 <3から√1+αk <2 3-a>0であり,an>0 から an> n≧2のとき, (2) から 3-and- an< (3-an-1) (1/2)(3)……… \n-1 (1/2)(3) 3 =2, n=2のとき a2= 2/2 am1-1/2 を満たす数列{an)について すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。 「類 関西

なんで不等式の証明って()²つくるんですか？

どうして（3）でa=bのときに等号成立するのでしょうか？どうやって求められますか？

これ を言 基礎問 13 不等式の証明 C 6.x +13>0 を証明せよ. (2+62)(2+y^) ≧ (ax + by) を証明せよ. また,等号が成立する条件も求めよ. (3) a>0, b> 0 < * * b (i)+g≧2 を証明せよ. a また,等号が成立する条件も求めよ. (ii) (a) (a+b) (12/3+/16)の最小値を求めよ. a b

数学の不等式の証明について質問です。 写真の一番の問題について、不等式の証明は基本的に両辺二乗すると習ったのですが、この問題の解説を見ると二乗せずに引き算してるので、どうして二乗しないのかがわかりません。 このパターンのときは二乗しない、などのルールがあるってことですか... 続きを読む

重要 例題 31 不等式の証明の拡張 00000 次の不等式が成り立つことを証明せよ。左下の (1) ab, xzyのとき(a+b)(x+y)≦2(ax+by) 9:38clalal (2) abc, xyz (a+b+c)(x+y+2) ≤3(ax+by+cz) ・基本30 指針(1) 大小比較は差を作る 条件のa≧bx≧y を それぞれ a-b≧0,x-y≧0 として証明に利用する。 (2)(1) と同じように大小比較をしてもよいが、(1)と(2) は文字数が違うだけで形は同 じ。そこで 似た問題は結果を利用の方針でいく。 本問では, (2) を証明するために, (2) の簡単な場合の設問 (1) がある。 すなわち, (1) が (2)のヒントになっているともいえる。 (1) a≧6,xy であるから 解答(x+by)-(a+b)(x+y =ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y) 0を (右辺)(左辺) 15 示す。」 =(a+b)(x-y)≥00()() よって 2(ax+by)≧(a+b)(x+y) ...... ① (2)(1) と同様にして, abcxvであるから <a-b≥0, x-y≥0 |等号は α = b または 等号はa=bまたは x=vのとき成立

2|a|－3|b|≦|2a－3b| という問題で、なぜ画像の様に場合分けをするのですか？ また、2|a|+3|b|≧|2a+3b|という符号が+に、≦が≧に変わっている問題では場合分けはありませんでした。なぜこちらの問題では場合分けが必要ないのでしょうか？

(2)[1] 2|a|-3|6<0 のとき |2a-360であるから, 不等式は成り立つ。 [2] 2|a|-3|6|≧0 のとき 両辺の平方の差を考えると |2a-36|2-(2|a|-3|6|)2 =(2a-36)2-(4|a|2-12|a||6|+9|6|2) =(4a2-12ab+962)-(4a²-12|ab|+962) =12(|ab|-ab) ..... ① ablab であるから lab-ab≧0 よって ①から (2|a|-3|b|) ≤|2a-36|2 2|a|-3|6|≧0, 2a-36|≧0 であるから 2|a|-3|6|≤|2a-36| [1], [2] から 2|a|-3|6|≤|2a-36| 等号が成り立つのは, 2|a|-3|6≧0 かつ |ab=ab, すなわち 2|a|≧36 かつ ab≧0 のときである。

2行目から3行目が何をやっているのかわからないので教えてほしいです。

すなわ (3) 左辺右辺 =2(x2+3y2)-5xy =2x25xy+6y2=2x2-2/2xy) +6%2 22.+)]-2(+6y2 23 20. y20であるから よって +3y925xy 等号が成り立つのは、20 かつ y=0. すなわち x=y=0のときである。

(2)です。 解説の3行目と4行目がわからないです。 (3行目)だから(4行目)になる関連性？を教えてほしいです。

*46 (1) a,b,c,d が正の数でα>b,c>d のとき, acbdであることを証明せ よ。 教 p.29 例 11 (2)xyのとき,x+2yx+3y であることを証明せよ。 教 p.30 例 12 3 4 (3) a>b>c>d のとき, ab+cd>ac+bd を証明せよ。 教 p.30 例題 9