ベクトルのなす角の問題です。 なす角の範囲を0°≦γ≦180°とした後、γの値が60°と120°になる所までは分かったのですが、なぜ最終的な答えが120°になるのでしょうか。なす角とは普通鋭角だと思って60°と答えてしまいました。

203 大きさが2で, x軸の正の向きとなす角が45℃, y 軸の正の向き となす角が60° であるような空間のベクトルを成分表示せよ。 ま た, そのベクトルがx軸の正の向きとなす角は何度か。

12.1 ①より1-p>0というのは、 ①の右辺は√1+p^2>0で正の数の掛け算だから、 左辺の1-pも1-p>0である、ということですか？？

1,-3) 本事項 ④ ●とすると を解く問 1x 基本例題12 ベクトルのなす角 を正の数とし, ベクトルa=(1,1) と=(1, -p) があるとする。いま、 ことのなす角が60°のとき, かの値を求めよ。 [立教大 ] (②2) α=(-1,3), 6=(m,n)(mとn は正の数), |=√5のとき、ことのな す角は45° である。このとき, m, nの値を求めよ。 指針 内積 α･b について を用いて a-b=alb|cos0, a·b=a₁b₁+a₂b₂ の2通りで表し,これらを等しいとおいた方程式を利用する。 図 (1) では, (2) では m,nの値がいずれも正の数であることに注意。 解答 (1) a·b =1·1+1 (-p)=1-p |ål=√1²+1² = √√2, 161=√1² + (− p)² =√1+p²157 成分による表現。 4.6=|4||5|cos 60°から 1-p=√√2 √1+p² x 1/2 ① ① の両辺を2乗して整理すると p²-4p+1=0 =(1+x) X p=2±√3 (ata ここで,①より 1-p>0であるから 0<p<1 ゆえに (2) 161=5から p.400 基本事項 ④ p=2-√3+20+1 12 8+1×1 (-2)=67 √1+²>0であるから, ①の右辺は正。 よって, ① の左辺は 1-p>0 が出てきたとき 403 1章 3 ベクトルの内積

回答と解説お願いしたいです！

問 21 次の2つのベクトルのなす角 を求めよ。 (1) a=(1, √3), 7=(√3, 1) = √√3+√3 = √6 (2) a=(1, -2), =(-3, 1) a (3) d = (2,3),T= (6, 4) (4) a=(3, -2), =(-6, 4) 18 1章 平面上のベクトル

教えてください（ ; ; ） コサイン全くわからないので、、、（ ; ; ）

つのトルの内積は実数 例 10 1辺の長さが2の正三角形ABCにおいて,内積を求めてみよう。 (1) BA・BC=|BA ||BC| cos 60° =2×2×12=2 (2) CÃ = BD となる点Dをとると BC・CA=BC・BD = |BC||BD| cos 120° =2×2×(-1)=-2 問 19 右の図の直角三角形ABCにおいて, 次の内積を求めよ。 (1) AB・AC (3) CA·CB 16 1章 平面上のベクトル (2) BA・BC (4) BC･CA D 120% B A 60° B -2-- 「ベクトルのなす角は, 始点をそろえて考える。 3 130° A C 60° 15 C

赤線で囲った部分、なんで法線ベクトルがこうやって求まるのですか

3 基本例題 35 内積と直線のベクトル方程式, 2直線のなす角 ①①00 (1) 点A(3,4)を通り, 直線ℓ: 2x-3y+6=0 に平行な直線をg とする。 線の方程式を求めよ。 (2) 2直線 2x+y-6=0, x+3y-5=0 のなす鋭角を求めよ。 指針 直線 x+⑥y+c=0 において, n = (ⓓ, ⑥) はその法線ベクトル (直線に垂 なベクトル) である。 (1) 直線lの法線ベクトルはすぐにわかるから,これを利用すると lin, l//g⇒g¹ñ すなわち, は直線gの法線ベクトルでもある。 (2) 2直線のなす鋭角 2直線の法線ベクトルのなす角を考える。 直線 2x+y-6=0の法線ベクトル =(2,1), 直線x+3y-5=0の法線ベクトル m=(1,3) を利用して, n,mのなす角00°≧0≦180°) を考える。 (1) 直線l: 2x-3y+6=0の法線ベクトルである n=(2,3) は, 直線g の法線ベクトルでもある。 よって, 直線上の点をP(x, y) とすると n•AP=0 AP=(x-3, y+4) であるから 2(x-3)-3(y+4)=0 すなわち 2x-3y-18=0 (2) 2直線 2x+y-6=0, x+3y-5=0 の法線ベクトルは, それぞれ n=(2,1), m=(1,3) とおける｡ nとのなす角を0 (0°≧0≦180°) とする |z =√2+12= /12+32 2×1 O 7 0 m=(1,3) n=(2,1) P.415 基本事項 (1) -30 -4 g 3 A ●直線の方程式に yの係数に注目。 cos o= とのなす角 à.b Tä||b|

赤線で囲った隠れた条件の部分 なんで０以上１８０以下になるのですか？

12 内積の計算 (成分) 基本例 次のベクトルa, の内積と, そのなす角0を求めよ。 (1) = (−1, 1), 6 =(√3-1,√3+1) (1) と また 内積の成分による表現 a = (a1,a2), 万 = (b1,62) のとき, a, ものなす角を0とする a.b a·b=a₁b₁+a₂b2 |al|b| 成分が与えられたベクトルの内積はAを利用して計算。 また、ベクトルのなす角は⑥を利用して、三角方程式 cos0=α(-1≦a≦l) を解く 問題に帰着させる。かくれた条件0°≧0≦180°に注意。 よって cos = また d = (-1)x(√3-1)+1×(√3+1)=2 |ã|=√ (−1)²+1² = √2, |b|=√(√3 −1)²+(√3+1)² = √8=2√2 lal 0°180°であるから (2) a.b cos0= 2 2×2√2 a.l=1×1+2×(-3)=-5 |à|=√1²+2² = √5, |B| = √ 1²+(−3)² =√10 à• b よって Tä||b| läb 20°180°であるから 0=135° 0=60° q=0Ã 700 (2) a=(1, 2), b=(1, -3) COS A= 1 2 00000 -5 1 √5√10 √2 /p.379 基本事項 4 (1) B (x成分の積) + (y成分の積) -1 P YA 1 52 0 45° SIE P +60% 7 12 135° 0 38 1x 1x 余弦定理を利用してベクトルのなす角を求める 上の例題 (1) において, a b のなす角 9 は, 次のように余弦定理を利用して求めること 討 きる。

(2)の問題で、なぜ0°≦θ≦180°という範囲になるのか分かりません💦

1402 基本 例題 11 内積の計算 (1) a=(-1, 1), b=(√3-1, √3+1)-(2) a=(1, 2), b=(1, -3) 次のベクトルa, この内積と,そのなす角0を求めよ。 p.400 基本事項 指針 内積の成分による表現 α = (a1,a2), = (b1,62) のとき, a, 6 のなす角を0とすると NHAU ĐI DU KHI HÀN a. b BB |al|b| 解 答 a·b=a₁b₁+a₂b₂ A cos 0= 成分が与えられたベクトルの内積は ⑩ を利用して計算A (S) また, ベクトルのなす角はBを利用して, 三角方程式 cosA=α (-1≦a≦1) を解く問 題に帰着させる。 かくれた条件0°≧0≦180°に注意。 ...... !!」 さん よって (1) また lal=√(-1)²+12=√2. = (-1)x(√3-1)+1=(√3+1)=2 よって 161=(√3-1)^2+(√3+1)=√8=2√2 a.b 2 1 lal161 √√2×2√2 2 0=60° COS A= ...... cos0= = 0°≧0≦180°であるから ab -5 lalo √5/10 0=135° = = 口 0° 0 ≦180° であるから (2) a.d=1×1+2×(-3)=-5 また |a|=√1+2=√5|6|=√12+(-3)^2=10P 100000 == √2 FCON C (1) (2) -1 |\=4+ J1 YA 1 12 0 1 +1²-08 5 allAG-AR YA √√2 _ P 160° 10 ✓ AHO 1x 1350 1x

赤いマーカー引いてあるところがなぜそうなるかわかりません

Think 例題 C1.18 三角形の形状 AB・BC=BC・CA=CA･AB を満たす △ABCはどのような三角形か. 考え方 △ABC の各辺のベクトルを考えると 右の図のような位置関係になるので, AB+BC+CA=0 が成り立つ、 このことを利用すると, 与えられた式 からベクトルを1つ消去することがで AB JANT TA 5A8 A BC CA C CA **** る LAOROLA このとき2つのベクトルの内積が式の中に出てくるが,内積は, a-b= |a||0|cos0 ORMORE であるので、ベクトルの大きさや2つのベクトルのなす角の情報が式の中から

ベクトル　方向ベクトル　(1) 北海道大学　数学過去問 (1)解説は方向ベクトルを用いているのですが、方向ベクトルの出し方がわからないです。 　 3枚目のように、私は法線ベクトルで解いたのですが、なぜ方向ベクトルを用いて解くのかが分からないです。 　 ご回答、よろしくお願... 続きを読む

29 2009年度 〔3〕 t> 0 とし,x=tで表される直線をムとする。 y=x で表される放物線を C とおく。 Cとの共有点(45) におけるCの接線をとする。 このとき,以下の問いに答 えよ。 Level B (1)とのなす角を0とするとき, cos0 を求めよ。ただし,0≧0≦1とする。

より、からの15+6t＝10+9tの前の式からこの式になぜなるのか分からないので教えてください。

C1.53 空間のベクトルのなす角 COME とのなす角が等しくなるような実数t の値を求めよ。 小量 a=(4, 0, 3), b=(1,2,2),c=a+th について、とのなす角と 例題 解答 lal=√4°+0°+3°=5 |1|=√1242°+2°= 3 tab=4·1+0·2+3·2=10 ことのなす角をa.cとのなす角をAとすると、COS COSB-10 ca だから, c.b Tellal clo を満たす. 両辺に共通なので,c を計算する必要はない. こを成分で表さなくても... ディここで,c=a+1より Focus a(a+tb) a=lal²+ta·b =25+ 10t より, Sn+de+25+10t __cb=(a+tb)·b=a·b+t|b³|² =10+9t ことのなす角とことのなす角が等しくなるとき ca cb - Tellal Fello ##(0)9 3&50 15+6t=10+9t よって, 10+95 cl·5c-3eti nda 40 t= 3 **** ca Telläl を用いて表せばよい。 . t=3 à + 3/2b £₁ 1 = ²3² よって、より 50/3 c-b cb1 a=(a, a2, 3); = (bı,b2,63) のとき ab=abi+ab+a3b3 £=5;ð $=0-53)=131|18\ a=(a, a2,a3),i=b, b, bs) のときaとのなす角を0 ab abı+ab+a3b3 とすると, cos0= a√²+a₂²+a³√b²+b₂²+b³² 注》角の二等分線を作るには、2つのベクトルの長さをそろえて足せばよい。 41 5+ 6+ ことのなす角を α, ことのなす角をβと すると, cosa-=- 例題 C1.53 の場合,|a| = 5,1=3より方をすればフリー ともに長さが5となる. ca_) Tellal cos β= Tellol COS α = cosβ を満たす. C1-105 言 2 FREN 第4章