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スの入
練習
④ 131
226
基本130
重要 131 導関数から関数決定 (2)
「微分可能な関数f(x) f(x)=lex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を
求めよ｡
条件(x)=11から、f(x)=flex-1dx とすることは
できない。 まず、 絶対値 場合に分けるから
A
x>0のとき f'(x)=e^-1
x<0のとき f(x)=-(ex-1)=-e*+1
x>0のときは、水と条件f(1) = e から f(x) が決まる。
しかし、x<0のときは、条件f(1) = e が利用できない。
そこで、関数f(x)はx=0 で微分可能x=0 で連続
(p.106 基本事項 ■②) に着目。
指針
lim f(x) = lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
x→+0
x>0のとき, ex-1>0であるから
解答 よって
f(1) = e であるから e=e-1+C
f(x)=ex-x+1
したがって
x<0のとき, ex −1 <0であるから
よって
f(x)=f(-e*+1)dx
よって
したがって
f'(x)=ex-1
f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数
ゆえにC=1
limf(x) = lim f(x)=f(0)
+0
→0
(2)
=-ex+x+D (D は積分定数)
f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。
ゆえに
①から
②から
x→+0
limf(x)=lim(ex-x+1)=2
x→+0
limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D
ゆえに D=3
x-0
このとき, lim
x→0
2=-1+D=f(0)
lim
ん→+0
x→−0
f(x)=-e*+x+3
-=1から
e-1
******
f(h)-f(0)
h
=lim
ん→+0
f(h)-f(0)
h
f'(x)=-ex+1
lim
h--0
eh-h-1
h
(土)
-=0,
-=0
lim
h-0
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。
以上から ƒ(x) = {²-e²+x+3 (x<0)
(x≧0)
-e″+h+1
h
●
ya
13 de
導関数f'(x) はその定義
から,x を含む開区間で
扱う。したがって, x>0.
x<0 の区間で場合分け
して考える。
SURSIC
O
f(x) は微分可能な関数。
<lim
ん→+0
◄lim
Stor
必要条件。
逆の確認。 p.121 も参照。
y=ex-1
ん→-01
er.
h
{=(e^-1)+1}
DET
x>0 とする。微分可能な関数f(x) がf(x)=112-1 を満たし, f (2)=-log2で
あるとき, f(x) を求めよ。
