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数学 高校生

ここでの部分からよく分かりません、、、 α+βの3乗ではなくそれぞれ3乗したものを足すのか教えて欲しいです!

324 OOOO0 基本例題208 3次関数の極大値と極小値の和 aは定数とする。f(x)=x°+ax?+ax+1がx=α, B(α<B) で極値をとるとき, f(a)+f(B)=2ならばa=コである。 基本 207 【類上智大) 指計>3次関数 f(x) がx=a, 8で極値をとるから、a. Bは2次方程式 f'(x)=0 の解である。 しかし、f(x)=0 の解を求め,それをf(α)+f(B)=2に代入すると計算が面倒になる。 このようなときは, 2次方程式の解と係数の関係系 を利用するのがセオリー。 f(a)+f(B) は a, Bの対称式になるから,次の CHART に従って処理する。 の a, Bの対称式 基本対称式α+B, aB で表される 解答 f(x)=3x°+2ax+a (まず,f(x) が極値をもつよ うなaの値の範囲を求めて おく(前ページの例題 207 (2)と同様)。 f(x)はx=a, Bで極値をとるから,f(x)=0 すなわち 3x°+2ax+a==0 ①は異なる2つの実数解 α, βをもつ。 よって,①の判別式をDとすると D>0 03() a(a-3)>0 2=-3-a=a(a-3) であるから 4 したがって a<0, 3<a 2 2 また,Oで,解と係数の関係より α+B=- 1 a a, aB=→。 ここでf(a)+f(B)=(α°+B°)+a(α"+8°)+a(a+B)+2 =(α+B)°-3aB(α+B)+a{(α+B)。12cB}+a(α+B)+2 3 -(-3ヴー3号の (-番ガー2号の( a+ +2 4 2 -a+2 3 27 ゲー子が+2-2 f(a)+f(B)=2から f(a)+f(B)=2は, 関数 f(x)の極値の和が2であ るということ。 27 3 よって 2a°-9a°=0 すなわち α'(2aー9)=0 9 2を満たすものは =り 2

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数学 高校生

(2)です。 2枚目でマーカーをつけたところで、なぜ4をかけているかわかりません。 √D/4=1/2√2だから、1/2をかけるのではないのですか?

例題36 x, yの2次式の因数分解 S (1) yについての2次式9y°-12y+16-4k が完全平方式となるような, 実数の定数kの値を求めよ。 2x°+ xy-2y°+ 4x+5y+kがx, yの1次式の積となるように定数k の値を定め,x,yの1次式の積の形で表せ。 完全平方式…(整式)°の形で表すことができる整式 = (x+Oy+△) (x+ロッ+▽) (*) となってほしい。 《CAction 2次式の因数分解は, 2次方程式の解を利用せよ 例題35 1つの文字に着目 xに着目すると = x°+(y+4)x- (2y?-5y-k) xについての方程式 の解 x= [yの式],yの式 = (x- Lyの式」)(x-[yの式」) と因数分解される。 → (*)のようになるのは, どのような解をもつときか? 解(1) 9y?-12y+16-4k=0 の判別式を Dとすると,左辺 が完全平方式となるための条件は ay? + by +cが完全平方 式となる。 → ay°+by+c=0 が 重解をもつ。 →判別式 D=0 D= 0 D =(-6)?-9(16-4k) = 36k-108 4 36k- 108 = 0 より k=3 (2) x°+xy-2y+ 4x+5y+k=0 とおいて, x についてい x°+(y+4)x-(2y°-5y-k) = 0 ニッー4±VD 整理すると 例題 xについて解くと x= 35 D,= (y+4)°+4(2y°-5y-k) は8次方 D、 はこのx についての 2次方程式の判別式であ ただし = 9y°-12y+16-4k Sでき e る。 よって +(y+4)x-(2y-5yーk)ると D20 ーリー4+VD エメー4-D Aax + bx+c==0 の解を a, Bとすると ax° + bx +c 三 x x 2 2 これがx, yの1次式の積となるための条件は, Dがy についての完全平方式となることである。 このとき,(1)より k=3 k=3 のとき,D, = (3y-2)° であるから x°+(y+4)x-(2y° -5y-3) ーyー4+(3y-2) = a(x-a)(x-B) k=3 のとき D、%3D9y?-12y+16-4k = 9y°-12y+4 = (3y-2)? ニyー4-(3y-2) ] 2 2 = {x-(y-3)}{xー(-2y-1)} = (x-y+3)(x+2y+1) 練習36 15x°+2.xy-y°+2kx+kがx, yの1次式の積となるように定数kの値を定 め,x, yの1次式の積の形で表せ。 ただし, kは kキ0 の実数とする。 69 → p.76 問題36 ー章|32次方程式 思考のプロセス|

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