-
![]()
-
![]()
anx
指針>被積分関数が f(cos.c)sinx, S(sinx)cos.x の形 に変形できるときは, それぞれ
なお, tan=tとおく方法もある。詳しくは次ページ参照。
371
次の不定積分を求めよ。
[sinx-sin'x
1+cosx
dx
-dx △
(2) (藤のやフ
sinx
|p.365 基本事項3
cOS.x=t, sinx=tとおく ことにより, 不定積分を計算することができる。
sinx-sin°x
(1-sin'x)sinx
cos x
7章
1+cosx
1+cos x
sinx
f(cosx)sinx の形
1+cosx
32
sinx
1
sin?x
1-cos?x
*sinx
- f(cos.x)sinx の形
sinx
解答
) cos.x=tとおくと, -sinxdx=dtであるから
cos?x
[sinx-sin'x
12
-dt
1+t
dx=
1+cosx
*sinxdx=
A
1+t
1+cos x
t+1
1
nia
--(-1+aro--+レー1ogl1+d|+C
=t-1+
t+1
B |cosx|<1であるが,
S=
-cos'x+cos.x-log(1+cos.x)+Ce
(分母)キ0 からcos xキー1
よって,真数1+cosx は正
である。
|2 coS.x=tとおくと,-sinxdx=dtであるから
sinx
sinx
-dx
=-Cos°x
dx
被積分関数を
Isinx
f(cos.x)sinx の形に変形。
1
Idt
1-t
dt
1
ユー
=--(log|1+|-log|1-t|)+C
ニー
2 八1+t
ast
く
2
c- l0git
1-cosx
-log-
+C
(*)||cosx|^1で(分母)キ0か
1+t
- cos x
ら cosxキ土1
よって,真数は正。
x
tan
2
1
© sin20=2sin@cos@
=2(tanOcos 0)cos0
=2tanOcos°0 を利用。
1
であるから
sinx
2tan)
x
C
x
tan
2
x
"Cos?.
tan
0
1-cos 0
dx
-dx=log| tan
+C
(tan?-
2
から,
1+cos0
x
tan
2
これは(*)と一致する。
x
次の不定積分を求めよ。
練習
223
ASS
cosx+sin2x Jr
sin?x
(3) \sin'x tanxdx
dx
COS x
C
onIDU」
いろいろな関数の不定積分
