確率の勉強をしている学生なのですが、この問題が分かりません。どなたか教えていただけませんか。

練習問題 1.8 (積率母関数) X を非負の確率変数とし, x(t) = Eetx は全てのt∈ に対して有限であると仮定する.さらに,全てのt∈ R に対し E [XetX] < ∞ であると仮定する.この練習問題の目的は, '(t) = E [Xetx] で あり、特に'(0)=EX であることを示すことである。 微分の定義, すなわち次式を思い出そう. 4'(t) = lim x(t) - (s) lim st t-s st EetxEesx t-s 「etx = lim E st t-s 上式の極限は,連続な変数sについて取っているが,t に収束する実数列{8}n=1を 選ぶことができ, 次を計算すればよい. 「etx e³n X lim E sn→t t-Sn これは、次の確率変数の列 etx -enx Yn = t-Sn の期待値の極限を取っていることになる.もしこの極限が, t に収束する列{Sn}=1 の選び方によらず同じ値になるならば、この極限も limotE [ex と同じで,そ れは '(t) である. .tx sx ← -e t-s 解析学の平均値の定理の主張は,もしf(t) が微分可能な関数ならば、任意の実数 s ともに対し,stの間の値の実数0で次を満たすものが存在するというものである. f(t)-f(s) =f' (0) (t-s). もしweΩを固定し,f(t) = etx(w) を定義すると,この式は, etX(w)_esx(w)=(t-s) X (w)e (w)x(w) (1.9.1) となる.ただし,(ω) はωに依存する実数 (すなわち,tとsの間の値を取る確率変 数)である. (i) 優収束定理 (14.9) (191) 式を使って,次を示せ. lim EY = Elim Yn=E [XetX] . (1.9.2) n→∞ [n→∞ このことから,求める式 4'(t) [XetX ] が導かれる. (ii) 確率変数 X は正の値も負の値も取り得、全てのt∈Rに対し Eetx < かつ E [|X|etX] < ∞ であると仮定する。 再度 '(t) = E [XetX] を示せ(ヒント: (1.3.1) 式の記号を使って X = X + - X- とせよ . )

写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。 ①なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？ ②どの部分の不等式を変形したら赤線の不等式が出てくるのですか？ ③赤線の不等式が成り立つときなぜ定理が証... 続きを読む

定理4.6 f(x),g(x) が (a,b) 上の微分可能な関数で lim f(x) = lim_g(x) =+∞ エロ+ f'(エ) をみたしているとする。 このとき 極限 lim = = A が存在するならば x+a+ g'(x) f(x) lim == A za+ g(x) が成り立つ。なおこの定理は lim の部分をすべて lim あるいは lim, +α14 lim におきかえても成立する. b- 8 ◆証明 任意の0<<1に対して,あるδ0が存在し,a<x<a+δに対して f'(x) A-< <A+EAKE g'(x) が成り立つ。必要なら80をさらに小さくとって,f(x)>0,g(z) >O(a<x< a+δ) となるようにできる。 コーシーの平均値定理から, a<x<a +δに対して,あ ∈ (+8)が存在し, f(x)-f(a+8) f'(g) = g(x) − g(a+8) g'(§) が成り立つ。ゆえに A-ε< f(x)-f(a+8) である. したがって f(x) = + g(x) g(x) である. ここで 9(x) − g(a+6) = 1 g(x) g(a+6) (エ) f(a+8) →1 (x → a+), g(x) − g(a + 8) f(x)-f(a+δ)g(x)-g(a+8) f(a+8) 9(x) g(x) − g(a+8) <A+e 価 以 grat (エ) 0(土)であるから,必要ならばさらにを小さくとることにより1> g(z)-g(a+6) f(a +8) g(x) >1-ɛ, 0< <e としてよい。ゆえに g(x) f(x) (A+c) +g> >(A-) (1-e)=A-e(A+1-c) g(x) が成り立つ。よって定理が証明された, 残りの主張も同様の議論で証明できる.

問題：p＝5とするとき、1以上4以下の各自然数nについてn^ p−1をpで割った時の商と余りを求め、この場合には実際にFermat の小定理の主張が成立していることを確かめよ。 ↑考えはなんとなく思いつくのですが、答えの書き方がよく分かりません。誰か解いてもらえるとありが... 続きを読む

f(n) を実数全体で微分可能な実数値関数とする。また、f’(n) をf(n) の導関数とする。次の主張は常に成り立つか 判定しなさい。 主張：f(n) がO(n) であるならばf’(n) もO(n) である。 なお成り立つ場合には証明し、そうでない場合には反例を挙げなさい.

1/xはなぜ単項式ではないのでしょうか？

問題の解き方が分かりません。 解説して頂けると助かります🙏

問1 (1), (2) の中から1つを選んで解答せよ. (1) 実数を成分とする 20行 23 列の行列全体の空間を M20×23 とする. 以下の関数fについて考 える. f(A,B) = tr (A*B), A,B∈M20×23. ここで, tr は行列のトレース (対角成分の総和), 'BはBの転置行列を表す記号である. (a) f(A,B)=f(B, A) は成立するか. 成立するならば証明し, 成立しなければ反例を示せ . (b) f(A,A)+f(B,B) = f(A+B,A+B) が成立する必要十分条件は f(A,B) = 0 である. この主張が正しければ証明し, 正しくなければ反例を示せ .

A≠O、A≠Eのとき、A^2=Aを満たす行列の固有値は0と1であることの証明の解答です。下線の部分が何を言っているか理解できません。その前に示したλ=0または1で十分では無いのでしょうか？

入をAの固有値とし, cを固有ベクトルとする 2, Ax 入 (0) より A'x = A(入z) = 入Az= 入æ また, A2 = A より, A'æ= Ax= 入 よって, 入2 = 入より, 入 = 0または1である. = A(A-E) = 0, A≠Eより, A-E の中で ≠0となる列ベクトルをとると行列の計算から Ax=0 (x≠0) よって, æ が固有値0の固有ベクトルである. 同様に, (A-E) A = 0, A ≠0より, Aの中 でx=0となる列ベクトルをとると

1問目は解けたのですが2問目以降がわかりません。 教えて欲しいです🙏

以下の行列に関する主張はいずれも間違っている. 反例を与えよ. (1) 2次正方行列 A と B に対し, (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 である. (2) 2次正方行列 A で A2 = 0 を満たすものは A = 0 だけである. (3) 実数を成分とする2次正方行列 A で A' =E を満たすものは A = Eだけである.

この問題が分かりません。 教えてください🙇‍♀️

問題 2. 次の主張のうち,正しくないものをすべて選び､正しくないことを示す例 (反例) を挙げよ. こ こで, A, B, C は集合である. (1) A∩BCCならばACCかつBCCである. (2) CCA かつCCBならば C CAN B である. (3) AUBCCならばACCまたはBCCである. (4) CCAまたはCCBならば CCAUBである.

教えてください

1.3 Zのイデアル 定理1.6 は,「aa + by (x, y E Z) という形の整数全体の集 合は dの倍数全体と一致する」ということを主張する定理である。 そこで一般に整数 a1,.…, an に対して,Zの部分集合 a1Z+ + anZ = {a11+ + anIn | 1,.…, En E Z} を考える。特にn=1の場合,整数aに対し, 集合 aZ = {az | €Z} はaの倍数全体に他ならない。この記号を使うと,整数a,bに対 してd=GCD(a,b) とおくとき,定理1.6は aZ+ bZ = dZ と言い換えられる。(1.1)を証明するために,集合 a」Z+……+a,Z が持つ性質を調べておこう.まず,次が成り立つ.