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> A^2=Aを満たす行列の固有値は0と1であることの証明の解答です。
>λ=0または1で十分では無いのでしょうか？
つまり
『固有値は0 または 1
だから
固有値は0と1』
ではないかという主張ですか？
数学というより日本語の問題ですが、
『〇〇はAまたはB
だから
〇〇はAとB』
は成り立ちません。
それと、
『λが固有値⇒λ=0 or 1』
がわかったとして、で、0と1は実際に固有値なんですか？という話になるのは当然で、つまり
Ax=0を満たすゼロでないx,
Ax=xを満たすゼロでないx
は存在しているのですか？
という話になるのは当然で
言い換えると
・λ=0
⇒Ax=λx(=0) を満たすゼロでないxが存在する
・λ=1
⇒Ax=λx(=x)を満たすゼロでないxが存在する
これらは真ですか？という話になるのは当然です。
わからなかったら必要条件、十分条件、固有値の定義などの復習をおすすめします。
固有値、固有ベクトルの定義が完璧には、理解出来ていないが故にこのような訳の分からないことを言っているのですが、アドバイスを頂けると幸いです。
> A(A-E)=OというのはA^2=Aから導いたものですよね？
はい、そうです。
> 何故A≠EならA-Eの中でx≠0となる列ベクトルをとる、A≠OならAの中からとるのか
そこのところの前半は0が固有値であることの証明、後半は1が固有値であることの証明をしています。
（前半）
A≠EだからA-E≠O.
したがって、行列A-Eの列ベクトルでゼロベクトルでないものが存在する。これをxとする。
A(A-E)=Oであり、xはA-Eの列ベクトルであるから
Ax=0 (= 0×x).
※『Ax=0』の0はゼロベクトル、（）内の0はスカラーのゼロです。列ベクトルxのゼロ倍ということです。
よってAは固有値であり、このxは固有ベクトル。
後半も同じようなことをやって、1が固有値であることを示しています。
＞（前半）
A≠EだからA-E≠O.
したがって、行列A-Eの列ベクトルでゼロベクトルでないものが存在する。これをxとする。
A(A-E)=Oであり、xはA-Eの列ベクトルであるから
Ax=0 (= 0×x).
A(A-E)=O、A-E≠OよりAがO
すなわちAx=0となっているのでしょうか？
>x≠0である列ベクトルを取れた『から』、Ax=λx(前半ならλ=0)が成り立っており
その『から』はおかしいです。
一般にn次正方行列P, Qが
PQ=O
を満たしているとき、Qの列ベクトルをq1, q2,…, qnとすると
P × q1 =0,
P × q2 =0,
…
P × qn =0
となるのはわかりますか？（わからなかったら復習してください）
A(A-E)=Oで、xはA-Eの列ベクトルだからAx=0です。
>『固有値は0 または 1だから固有値は0と 1』ではないかという主張ですか？
ネット上で調べた解答例には(ネットの情報は鵜呑みにできませんが…)λ=0or1のところを、0,1と言いきってしまってそこで終わりにしてたのでそのように疑問に感じました。確かに実際に固有値かは分かりませんよね。その説明が今回の画像の下線部には書かれていると私も感じていましたがそこが理解出来てません。
A(A-E)=OというのはA^2=Aから導いたものですよね？何故A≠EならA-Eの中でx≠0となる列ベクトルをとる、A≠OならAの中からとるのかが具体的にわかっていません。
また、そのような列ベクトルから行列の計算によりAx=O、Ax=xが出てくるのもどのような計算を施しているのか分かりません。しかしこちらは上の｢何故A≠EならA-Eの中でx≠0となる列ベクトルをとる、A≠OならAの中からとるのかが具体的にわかっていません。｣が解決出来れば分かりそうです