122
第5章 無限和と無限積
191(u+2)9u-x) めくuty)のu-¥)-9,W+)9(-)91 (v+x)191c-ま)
= 0(z-y)0.(2+y)o(u+v)0.(u-v).
[証明] 2,9, uを固定し,左辺を f(u) = fi(u)-fa(u). 右辺を g(u) と書n
てuの関数とみなそう.両辺が同じ擬周期性と零点を持つことを示し,それ
を用いて比F(u)=f(u)/g(u) が定数1に等しいことを導く.
まずん(u) =0,(u+a)0,(u-a) はaにかかわらず
h(u+1) = h(u),
h(u+t) = e-2ri(r+2u)h(u)
を満たしている.したがって f(u),9(u) もこれと同じ性質を持つ.よって
比をとれば F(u+1)= F(u+t)=F(u). 次に「F(u) の極を調べよう. g(u) の
零点は(5.26)からu=±u+m+nT (m,neZ)で与えられる.式の形から
fi(土v) = f2(土v),したがって f(土v) =D 0がただちにわかるので, u=±vで
F(u) は正則である.すると周期性によりu=土u+m+nr でも正則となり,
結局 F(u) は整関数である。ゆえに補題5.23 からF(u) は定数でなければな
らない、u=y とおけば f、(y) = g(y), f2(y) = 0 だから F(u)= F(y) =1が成
り立つ。