Question

眠い

教えてください

AI
 [三訂版クリアー本受 弘前大]

0<ァミエ のとき, 一2ーァlog(1一ミータ を示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

差分をとって増減を調べるのが一番楽だと思います.
***
0≦x≦1/2を定義域とする関数f(x)=log(1-x)+xを考える.
定義域ではf'(x)={-1/(1-x)}+1=-x/(1-x)<0なので単調減少することが分かる.
すなわちf(x)≦f(0)=0⇔log(1-x)≦-xがいえる. 等号成立はx=0のときである.
一方, 0≦x≦1/2を定義域とする関数g(x)=log(1-x)+x+x^2を考える.
定義域ではg'(x)={-1/(1-x)}+(1+2x)=2x(1/2-x)/(1-x)>0なので単調増加することが分かる.
すなわちg(x)≧g(0)=0⇔log(1-x)≧-x-x^2がいえる. 等号成立はx=0のときである.
以上から0≦x≦1/2のとき, 不等式-x-x^2≦log(1-x)≦-xが成り立つことが示せた.
なお等号成立はともにx=0のときである.