Question

詩音

十の位の数字と一の位の数字の和が9である2けたの整数は9の倍数である。このことがらが成り立つことを、文字式を使って説明しなさい。

この答えと説明をしてくれませんか？

中学実力練成テキスト 数字 1年 文字と式 文字式による説明 数字1年

Answer 1

mo1

２けたの整数の十の位の数字をaとすると、
十の位の数字と一の位の数字の和が9なので、一の位の数字は(9－a)とんなり
２桁の整数は、10a＋(9－a)　と表わされる。
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この２桁の整数【10a＋(9－a)】を整理すると
10a＋(9－a)＝10a＋9－a＝9a＋9＝9(a－1)
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(a－1)が整数であることから、9(aー1)は9の倍数
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したがって、
十の位の数字と一の位の数字の和が9である2けたの整数は9の倍数である。
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詩音

ありがとうございます(o´∀`o)

Answer 2

ブドウくん

この性質は9の倍数の判定方法として有名なので証明と共に知識として知っておくといいと思います。今回は全く見たことがない前提でこの問題にどんな方針をたてていけばいいのかを話します。少しトリッキーな変形に見えるかもしれませんがなんでそうするのかを理解してください。

３桁の整数を100a+10b+cのように置きます。(aは1以上9以下、b,cはそれぞれ0以上9以下の整数)
最終的には、この100a+10b+cが9の倍数となることを示したいのでなんとなく100a+10b+c=9m(mは整数)という形になればいいんだと思ってください。

条件として、各位の和が9の倍数ですよと教えられています。これを数式としてつくると百の位がaで十の位がbで一の位がcなのでa+b+c=9k(kは整数)となるということですよね。
これをわざわざ条件として与えてきているということは使えということなので、あえて100a+10b+cをこいつが(a+b+c)を含むような変形をすると
100a+10b+c
=(a+b+c)+99a+9bとなります。
a+b+c=9kより
=9k+99a+9bとなります。
こいつが9の倍数だと言いたいので9でくくります。
=9(k+11a+b)
k+11a+bは整数なので9(k+11a+b)=100a+10b+cは9の倍数であると示すことができました。

ちなみにこの性質は3桁でなくても成り立ちますし、3の倍数についても、「各位の和が3の倍数である自然数は3の倍数」となります。よければ示してみてください。
きちんとした解答は写真を見てください。

ブドウくん

過去回答のコピーなので3桁で証明していますが、これを2桁にすればいいだけです。

詩音

ありがとうございます(o´∀`o)