元々の不等式が
x²/a²+y²/b²-z²+1≦0 かつ 1≦z≦c
⇔ (z≦-√(x²/a²+y²/b²+1) または √(x²/a²+y²/b²+1)≦z) かつ 1≦z≦c
⇔ √(x²/a²+y²/b²+1)≦z≦c (∵ 1≦√(x²/a²+y²/b²+1))
と変形できるので、Dが表す範囲は上の不等式を満たすzが存在する範囲、つまり
D : √(x²/a²+y²/b²+1)≦c
です
模範解答の書き方は伝わりにくく、あんまり筋がよくないと思います
あんまり深く考えていなかったのですが、cとtの位置関係は特に気にしなくていいようにも思えます
元の不等式が
t≦z かつ 1≦z≦c
と変形できるところまでは大丈夫かなと思いますが、これは
⇔t≦z かつ 1≦z かつ z≦c
⇔t≦z かつ z≦c (∵(t≦z かつ 1≦z)⇔t≦z)
⇔t≦z≦c
と変形できます。これらの同値変形はcとtの大小関係に依存せず、もしc<tなら上記全てが常に偽となるだけなので問題ないです
不等式の中の項に対してもう一つ不等式がある、というのはどういう意味でしょうか？
この質問のことを忘れてたようです。申し訳ありません！
真偽と関係ない同値変形なんですね。この考え方に触れるの初めてかもしれないです。
元の不等式がt≦z かつ 1≦z≦cというのはt≦|z| かつ 1≦z≦cの間違いでしょうか？絶対値がつくと、
t≦z≦cまたは(z≦-tかつz≦c)
∴t≦z≦cまたはz≦-t (∵-tは負)
になりますか？なんか違う気がしますが、ご飯の時間です。
不等式の中の項に対してもう一つ不等式があるというのは、|z|≧tの中にまたt≧1があるということです。tが動くのでzのグラフを書いてもtが固定されちゃう感じになります。
t≦z かつ 1≦z≦c というのは間違いではなく、t≦|z| かつ 1≦z≦c からそこまでの変形は理解しているかなと思ってそう書きました
t≦|z| かつ 1≦z≦c
⇔(z≦-t または t≦z) かつ 1≦z≦c
として、なずさんが上で書いてくれた画像のように集合で考えて
{z≦-t または t≦z}∩{1≦z≦c} (集合の表記を少し略しています)
を図示すれば z≦-t の部分は消えるので
t≦z かつ 1≦z≦c
となります
或いは、いったん分配法則で
({z≦-t}∩{1≦z≦t}) ∪ ({t≦z}∩{1≦z≦c})
とすれば、
＝∅ ∪ ({t≦z}∩{1≦z≦c})
＝{t≦z}∩{1≦z≦c}
とすることもできますね
t≧1のことですか。でも図にできますかっていうのはどういったものを想定しているんでしょう⋯？
基本的な見方として、この段階ではzのみを変数と見ているため、それ以外の変数、すなわちx,y,tなどは定数扱いした方がいいかと思います。tはt≧1を満たすある定数って感じです
ご回答ありがとうございます！
模範解答がよくなかったんですね。
(z≦-√(x²/a²+y²/b²+1) または √(x²/a²+y²/b²+1)≦z) かつ 1≦z≦c
⇔ √(x²/a²+y²/b²+1)≦z≦c (∵ 1≦√(x²/a²+y²/b²+1))
の部分の考え方はなんでしょうか。
順を追って書いてみたんですが、グラフでのcとtの位置関係が疑問に思いました。今回は不等式の中の項に対してもう一つ不等式があるんですね。これは図にできますか？