Question

なず

4(2)の積分は広義積分ですか？問題はそうだと言ってますが違うと思います。yは境界の0もxも普通に取れるからです。でもこれは過去問ですが、間違ったと学校からは言ってないんです。どう思いますか？

よろしくお願いします。

[4] <はc> 0 なる定数とする。z-平面内の領域 り と、り 上の 2 変数関数 7(,9) を、次のよ
うに定義する。
の={((,の10<9<zくの)

Vz?ーダの

字

 

7(?,9)  ー

このとき、以下の各間いに答えよ。
(1 ) げ(z,9) の z に関する偏導関数および ヶ に関する偏導関数を求めよ。
(2) 0<>ヶ<g なるzを固定するとき、次の積分 (広義積分) を求めよ。

が7ey PA/
(3) 領域 わり における げ(z,g) の 2 重積分 (広義積分) を求めよ。 .

広義積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

ふつうのリーマン積分に見えますね
f(x,y)の定義域に y=0 や y=x となる領域が含まれていないからなのかもしれません

なず

ありがとうございます。

(2)の積分は前のDも参照しなければいけないんですね。よく考えたら確かにそういう意味です。ということはこれは0もxもギリギリ取れない広義積分ですね。

ちなみに、Dのようなちょうどよく境界が取れない三角形のような領域の広義積分はどう思いますか？この問題の(3)はまたxの広義積分を求めればいいようですが、他に(2)のような誘導のない開領域が普通に出てきます(新画像)。定数を置いたまま二回積分するという正確な書き方だとめちゃくちゃ複雑になりますよね。特に画像一枚目は試験中にただ境界が取れないだけでこんなに複雑に書かなければならないなんてちょっと考えられないんです。そしてこういう領域の置き方はそもそもどの参考書にも載ってないのでわからないんです…。gobtさんは知ってますか？

質問の問題の誘導を見たらこういう広義積分の重積分は領域を置いて極限を重積分の最後に取ったりするんじゃなくて、一変数の広義積分を二回計算して極限を二回取ったほうが少しだけ簡単になりそうですよね。でもこういうやり方は見たことがないんですが、あってるんですか？

gößt

こういった、境界がほとんど含まれていないような問題は正直あまり見たことがないです
正確なことはよく知らないのですが、被積分関数が境界まで連続に拡張できる場合は広義積分であることを気にせずに計算して大丈夫だと思います。コメントに添付されている画像2枚目の (x,y)=(0,0) のときみたいな場合のみ慎重に扱えばいいはずです。おっしゃる通り真面目に全部やっていると大変ですからね

なず

そうですね―。過去問をやってるうちに実はまじめにやらなきゃいけないかもしれないと思ってどうしようか悩んでます。

なず

あ、そうでした。重積分の広義積分は逐次積分の広義積分で解いてもいいですか？極限を二回取ります。

なず

見つかりました。なんと正しくないようです…

なず

上の定義から正しくないと書いてるのは名古屋大学の宿題です

やはり逐次積分で二回極限を取る方法じゃないと解けないようです。一枚目が(2)の結果で、二枚目はそれを(3)に代入したんですが計算できないようです。

他二回極限を取るような方法で広義重積分を解いてるところもある(三枚目)んですが、ただのwikiで作者は数学系の修士のようです。

gößt

名古屋大学の問題については、積分領域が非有界ですから私も定義に沿って計算した方がいいと思います

ツールにやらせている計算方法は定義通りの計算方法ではありますね。まあ今回のように積分計算が煩雑になってしまうのでやっぱりサボって計算するのが良さそうですが

wikiで紹介されている方法は、
　Dn={(x,y)|0≦x≦n, 0≦y≦1}
という近似列を取って計算していることと同じなので、境界を含んでいることを除けば定義通りに計算していることになります

gößt

まとめると、

・積分領域の境界でも被積分関数が連続に拡張できるなら広義積分と捉えなくてもよい

・境界で被積分関数の不連続点が生じてしまうような積分の場合はその部分だけ広義積分と捉えて計算する
(例)
上記のコメントにある
　∫[D]{log(x²+y²)/(x²+y²)¹'³}dxdy
　D={(x,y)|0<x²+y²<1, 0<y<x}
など。((x,y)=(0,0) では連続に拡張できない)

・積分領域が非有界なら広義積分と捉えて計算する
(例)
上記の名古屋大学の問題など

という形で対処するのが個人的には良いかと

なず

まとめていただきありがとうございます！

今気づいたんですが、名古屋大学の問題は3の非有界なので先生が逐次積分がダメって言ったんですか？やはり過去問はわざと境界を除いた感じなので、1の連続に拡張できる場合でもちょっと広義積分っぽい記述で書きたいです。そこで逐次積分のように積分するたびに極限を書くというのはどうでしょうか。

gößt

先生がダメって言ったわけではなく、自分だったらそうはやらないなと思ったということです

記述の仕方としてはありかもしれません。個人的には気にしなくてよいと思いますが、そこら辺は好みの問題ですかね

関連した話題として思い出しましたが、二重積分を極座標変換するときってθの範囲を 0≦θ<2π でとりますよね。でも積分するときは気にせず 0≦θ≦2π と思って計算する人がほとんどです。この点から見ても境界で連続な場合について多くの人は気にしないように感じます。とにかく、ご自身で納得できる記述ならそれで大丈夫なはずです

なず

そうですね。わかりました！
極座標変換もそうだったんですね！全然知らなかったです。あ、先生というのは名古屋大学の先生が書いた宿題のコメントのことです。

gößt

ああ、そういうことでしたか
おそらくですが、件の広義積分を
　∫[0,∞] (∫[0,∞]{1/(1+x+y)^α}dx) dy
と計算することに対するコメントじゃないかなあと思います。片方の変数を先に無限に飛ばしてから、あとでもう一方も無限に飛ばすという計算だと本来の定義から大きく外れてしまいます

なず

そうなんですね。さっきもいろいろ調べてこのタイプは逐次積分できないというのを見かけた気がしました。

なず

また意外な広義積分を発見しました。2小問目ついてどう思いますか？

非有界の積分ですが、解答は逐次積分で解いてます。なぜこの問題は大丈夫でしょうかね。困ったものです。

gößt

これはこの計算方法が定義通りではないでしょうか
　∫∫[D]{1/xy(x+y)}dxdy
　D={(x,y)|1≦x<∞,1≦y<∞}
と書かれているわけではないですからね
　∫[1,∞]∫[1,∞]{1/xy(x+y)}dxdy
＝∫[1,∞] (∫[1,∞]{1/xy(x+y)}dx) dy
と解釈するのが自然かなあと

なず

回答ありがとうございます！

なるほどー！こういう違いもあるんですね。気づいてなかったです。