Question

塔なし

（２）教えてください

の1 回
財  國1のように 半企が 3cm の円の円周を 12 等分する 12 個の点があり・ そのうち
*    つを S とします。           y                       個ずつ
意P、Qは上 S を同時に出発し、P は矢印アの方向へ 1 秒ごとに円周上の点を 1
Qは矢凶イの方向へ1 秒ごとに円周上の点を 2 個ずつ移動します、
例えば。 1 秒後の 3 点 S、P,Qのそれぞれの位置は、較2のようになります・

次の1), (2)に答えなさい。
図1                    図2

給記。     3   <   7

     

放1T祖に
の面積求めなさい。
AsGom【 95 才あコ
CS  >

際

(ゆ 貼の中心ま O とする。5 秒後の3 京S、P.Qの位置を図に
示すと, 右の図のようになる。円周角の定理より。

ュ     >        *
GLキーソープ
(⑫ 可吉が何秒で円居上を 1 局するかをもとに.  それぞれの点

の位置を状める。

点は12 秒で1周するから. 55+ 2ニー       3
59牧人徹には 12 周じ2だあと。 志和生テアのカミ
旭信移動している。 また. 長Qは6 秒で1周するから、

65例り5 2x5=0より, 25周したあぁと、操S
ら矢印イの方向へ 0 個移動していぁ。

よって, ASPQ は右の図のよぅ になる。

束Sから線分OPた垂線SH をひく。ZpOS=s
より, AHOS は, 8 つの内角が,

とをる。起角三角形の辺の比より.

OH: 05=/3 :2 OH=交os-全<o_3

  

1
12

30, 60, 90'の相季有形

  

9  CS  eo雪|
局粒に。S : 0Sニ1 : 2    SH=208=みxs=き(G)

Answer 1

LUX SIT

このように円周上を動点が回る問題は周期を考えるといいです.
***
点Pは1秒ごとに時計回りの方向に1個だけ進みます.
155秒後には時計回りに155個だけ進むわけですね.
円を1周すると12個進む. 155=12*12+11なので円を12周してから時計回りに11個だけ進むわけです.
だから点Pは点Sの左隣の点(12-11=1)にいるわけです.
点Qは1秒ごとに反時計周りの方向に2個ずつ進みます.
155秒後には反時計回りに155*2=310個進むことになります.
310=12*25+10なので点Qは円を25周して反時計回りに10だけ進んでいます.
つまり点Qは点Sの2個(12-10)右隣の点にいるわけです.
これを書き込むと解答のような位置になります.
***
ここからは少し発想の難しい問題です.
***
円を12等分したので隣接する2点と中心を結んだ線分同士のなす角は360°/12=30°です.
∠POS=30°, ∠QOS=30°*2=60°, ∠QOP=90°
あらわれた角はすべて特殊なのでここに注目します.
PQは三平方の定理からすぐ求まりますが, SからPQへ下した垂線の長さを求めるのは厳しそうです.
そこでQOに平行な直線, SからPOへ垂線を下ろし, その足をHとしてみます[平行線の利用, 垂線の利用].
まず△OQSは正三角形で面積は3^2√3/4=9√3/4
また△OPQは直角二等辺三角形なので3^2/2=9/2
△SOHをみると, ∠SHO=90°, ∠SOH=30°なのでSO:SH=2:1となります.
SOは円の半径なのでSH=3/2となります.
△SOPは底辺OP=3, 高さSH=3/2とみなせるので面積は1/2*3*(3/2)=9/4です.
□OQPS=△SPQ+△OPQ=△SOP+△OQSなので値を代入して
△SPQ=9(√3-1)/4と求まりました.