Question

なず

この二重積分を解く方法はありますか？ツールで計算したら結果は合ってるんですけど、自分では解けないんです。
よろしくおねがいします。

重積分 二重積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

これは重積分の問題を極座標変換したものですかね？素朴にルートの中を平方完成して解こうとしたら泥沼にはまったのでこの変数変換を使わないほうがいいのかもしれません

極座標変換する前の形は
2∫∫[D]√(3-x²-y²-2x)dxdy
D={(x,y)|x²+y²≦1}
でしょうか。被積分関数を
√(3-x²-y²-2x)＝√{4-((x+1)²+y²)}
と見て、
x+1＝s cosφ
y＝s sinφ (s≧0, -π≦φ<π)
と変数変換します。ヤコビアンの値はsになり、
x²+y²≦1 ⇔ (scosφ-1)²+(ssinφ)²≦1
⇔ s²-2scosφ≦0
⇔ s≦2cosφ
よりDは
E={(s,φ)|0≦s≦2cosφ, -π/2≦φ≦π/2}
なる集合Eに移ります。よって、求める二重積分は
2∫∫[E]√(4-s²)•sdsdφ
＝2∫[-π/2, π/2]dφ ∫[0,2cosφ]s√(4-s²)ds
となります。これなら積分計算できると思います

なず

え、すごい、元の問題に戻されちゃいました(笑)！どうやらそのまま解くのは無理みたいですね。
前の領域はちょっとだけ原点から離れた円、D={(x,y)|(x-1)²+y²≦1}です。そのままx-1=rcosθ、y=rsinθと置きたかったのですが、被積分関数にルートがあって解けなくなったのです。ルートがあるときはまずそれが取れるように変数を変換したほうがいいですね。ありがとうございました。