Question

なつは

回答お願いします！全く思いつきません😭

4   国 (sinx+gcosy)(sSinx+2cos*)の0Sr
なるような実数, の を求めよ。

  

IO

Answer 1

LUX SIT

数式の対称性に気付けなければ厳しいでしょう.
素朴に解くと以下のような解答になります.
***
(sin(x)+acos(x))(sin(x)+bcos(x))
=sin^2(x)+abcos^2(x)+(a+b)sin(x)cos(x) [形から半角公式を利用する.]
={(1-cos(2x))/2}+ab{(1+cos(2x)/2)}+{(a+b)/2}sin(2x)
=(ab+1)/2+{(a+b)/2}sin(2x)+{(ab-1)/2}cos(2x) []
=(ab+1)/2+√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]*sin(2x+α)
と変形することが出来る. ここでαは
sinα={(ab-1)/2}/√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]
cosα={(a+b)/2}/√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]
を満たし0≦α<2πの範囲にある角をとることにする.
このとき0≦2x+α<6π[必ず1周期以上ですね.]の範囲にあるから(sin(x)+acos(x))(sin(x)+bcos(x))
の最大値は{(ab+1)/2}+√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]
の最小値は{(ab+1)/2}-√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]
であることが分かる. 条件から
{(ab+1)/2}+√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]=3
{(ab+1)/2}-√[{(a+b)/2}^2+{(ab-1)/2}^2]=-1
⇔ab=1, a+b=4
解と係数の関係から2次方程式x^2-4x+1=0の実数解がa,bである.
すなわち(a,b)=(2+√3,2-√3),(2-√3,2+√3)が求める答えである.

LUX SIT

[訂正] 最後に抜けがありました.
⇔ab=1, a+b=±4
解と係数の関係から2次方程式x^2±4x+1=0の実数解がa,bである.
すなわち(a,b)=(2±√3,2∓√3),(-2±√3,-2∓√3)[複合同順]
が求める答えである.

Answer 2

Mike_teacher

たぶん、ミスしていなければ、大丈夫なはず。

ゲスト

a+b=±4では？

Mike_teacher

ミスってましたね...。
ご指摘の通りです。